找到高线和底边相交的点（Python）

Question

找到高线和底边相交的点（Python）

pythongeometry

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给定一个锐角三角形的顶点坐标，如何高效快速地找到从特定顶点引出的高度与对边相交的点的坐标？

仅使用数学、numpy或scipy的解决方案将非常有帮助。

- Leonard Shaw

2

你到目前为止尝试了什么，你的尝试有什么问题？ - G. Anderson

我已经计算出了高的长度，但是在获取它与底边相交点的坐标时遇到了困难。我想知道是否有一种算法可以找到这些坐标。我正在尝试创建一个适用于任何三角形的通用解决方案。 - fume_hood_geologist

我认为我可以利用高度的长度和90度角来找到从高度与底边相交的点到一个顶点的线，然后利用该线的直角三角形的两条边来找到我的坐标。 - fume_hood_geologist

2个回答

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考虑一个三角形，其顶点为点A、B和C，您希望找到从顶点C延伸的高度与线段AB相交的位置。

首先，您可以确定线段AB的方程式。您有点A和B（Ax、Ay和Bx、By）。鉴于此，您可以计算出斜率slope_AB，即(By-Ay)/(Bx-Ax)。

现在，线的格式是Y=MX+B，其中M是刚刚计算出的斜率，B是Y截距，因此：Y_intercept_AB = Ay-slope_AB*Ax。因此，AB的方程是Y=slope_AB*X+Y_intercept_AB。

好的，现在，从C到其与线段AB相交处（我们称其为点D和高度线CD）的高度的斜率是AB斜率的负倒数；因此，slope_CD = -(1/slope_AB)。

现在，假设你已经知道了线段CD上的一个点C和它的斜率，你可以像求线段AB的方程一样来求解CD的方程。首先，找到它的Y轴截距：Y_intercept_CD = Cy - slope_CD * Cx

因此，CD的方程为Y = slope_CD * X + Y_intercept_CD。

现在你已经得到了线段AB和线段CD的方程：

Y = slope_AB * X + Y_intercept_AB
Y = slope_CD * X + Y_intercept_CD

你的问题简化为找到这些线相交的地方，也就是点D。

从上述方程中，由于两个右侧都等于Y，我们可以将它们设置为相等：

slope_AB * X + Y_intercept_AB = slope_CD * X + Y_intercept_CD

现在只需要解决X的问题。

slope_AB * X - slope_CD*X = Y_intercept_CD - Y_intercept_AB 
(slope_AB - slope_CD)*X = Y_intercept_CD - Y_intercept_AB
X = (Y_intercept_CD - Y_intercept_AB)/(slope_AB - slope_CD)

这将为您提供D的X值（Dx）。对于Y值，请使用任一条线方程。让我们使用AB的那个：

Dy = slope_AB * Dx + Y_intercept_AB

将所有内容放在一起，假设一个三角形 A=(-4, 2), B=(0, 6), C=(6, -4):

#Points A, B,C:
Ax = -4; Ay = 2
Bx =  0; By = 6
Cx =  6; Cy = -4

#Line AB:
slope_AB = (By - Ay)/(Bx - Ax)
Y_intercept_AB = Ay - slope_AB*Ax
print("AB: slope: %s, intercept: %s" % (slope_AB, Y_intercept_AB))

#Line CD:
slope_CD = -(1/slope_AB)
Y_intercept_CD = Cy - slope_CD*Cx
print("CD: slope: %s, intercept: %s" % (slope_CD, Y_intercept_CD))

#Find the intersection of the two lines AB & CD:
Dx = (Y_intercept_CD - Y_intercept_AB)/(slope_AB - slope_CD)
Dy = slope_AB*Dx + Y_intercept_AB
print("Intersection at (%s, %s)" % (Dx, Dy))

输出：

AB: slope: 1.0, intercept: 6.0
CD: slope: -1.0, intercept: 2.0
Intersection at (-2.0, 4.0)

还有一件事：如果点 A 和 B 具有相同的 X 值（因为它除以 Ax-Bx，而这将为零），则会导致除以零并失败；但这是一个开端。

- codingatty

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可以查看英文原文，
原文链接

- MBo · Accepted Answer

所需点是顶点C在包含对边AB的直线上的正交投影点。

要找到投影点，请获取AB和AC的向量。

 AB = (B - A)    //in coordinates ab.x = b.x-a.x, ab.y = b.y-a.y
 AC = (C - A)

使用向量AB和AC的数量积找到参数

t =(AB * AC) / (AB * AB) 
t =((b.x-a.x)*(c.x-a.x) + (b.y-a.y)*(c.y-a.y)) / ((b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (b.y-a.y)*(b.y-a.y))

投影点坐标

 P = A + AB * t
 p.x = a.x + (b.x-a.x) * t
 p.y = a.y + (b.y-a.y) * t

That's all

def orthoProjection(ax, ay, bx, by, cx, cy):
    abx = bx - ax
    aby = by - ay
    acx = cx - ax
    acy = cy - ay
    t = (abx * acx + aby * acy) / (abx * abx + aby * aby)
    px = ax + t * abx
    py = ay + t * aby
    return px, py

print(orthoProjection(0, 0, 4, 4, -1, 5))
>>(2.0, 2.0)