2D几何：如何检查一个点是否在角度内

Question

我在2D中有以下几何问题：

我有一个点，从这个点向外投射一个无限角度（2D圆锥），由一个方向和一个角度确定。（点和方向形成一个向量，每个方向的一半形成2D圆锥）

现在我想检查另一个2D点是否在这个圆锥内或外。

如何实现这个目标？ 谢谢！

- clamp

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语言不应该成为问题；我相信OP想要的是算法。 - Paul Sonier

是的，那是个好观点，丹尼尔，"2D中的点"是什么意思？ - Paul Sonier

是的，语言并不重要，我只是在寻找算法。如果您用文字描述它，那也可以。如果圆锥体是三维的，我不确定应该用什么英文单词代替，抱歉。 - clamp

圆锥在二维情况下也完全可以使用。不过，你也可以在二维情况下使用“扇形”。 - EFraim

Answer 1

计算从圆锥中心到查询点的向量。将该向量归一化为长度为1，同样将圆锥中心向量归一化为长度为1。
现在取两个向量之间的点积。归一化后的两个向量的点积是它们之间夹角的余弦值。对点积取反余弦函数（在大多数编程语言中使用acos），您将获得该角度。将此角度与圆锥的角度（即您描述的半角）进行比较，如果小于，则问题点位于圆锥内。

这适用于2D和3D。

- shoosh

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谢谢，实际上这就是我一直在做的事情，但我只是没有意识到点的实际位置被考虑在哪里，所以我认为它还没有完成。现在我明白了。谢谢！ - clamp

绝妙的解决方案。请注意，您可以预先计算“半锥角余弦”，然后只需在点积结果和该余弦值之间使用“小于”比较即可，无需使用反余弦函数——当然，只要点积结果为正，以避免让一个点“落在”锥体后面。如果针对同一锥体检查多个点，则此方法非常有用。 - R. Navega

Answer 2

使用方向的反正切计算方向的角度。从检查点中减去原点。通过归一化向量的反正切再次计算其角度，并检查它是否位于角度边界内。

- EFraim

Answer 3

我认为最好的方法是将该点投影到垂直于锥体方向的二维表面上。然后，您可以计算该平面与该点之间的正交距离。最后，您可以知道在该高度处锥体的宽度，以便确定该点是否超出该宽度。

- David Menard

Answer 4

让从原点到指定点的向量与穿过中心的法线成角A。如果角度A小于锥体半角，则它在内部，否则在外部。

- lune