IEEE 754 中的四舍五入到最近值

Question

在IEEE 754中，有一种将浮点数值四舍五入的“最近舍入”方法。

但是我不理解定义中的一个条款：

如果两个最接近的可表示值同样接近，则选择其最低有效位为零的那个。

什么是“选择其最低有效位为零的那个”？

- Vitaly

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012345678，在这种情况下，8是最低有效位。它是改变数字最少的位（或数字）。将#8加一，只会增加这个数字。将#0加一，将使其增加10000000。现在，位被存储为0001 0010，之前的只是一个例子。这样做对你有帮助吗？ - Emz

所以，如果我们有两个相邻的单精度浮点数，其尾数以二进制形式表示为：1.00000000000000000000001和1.00000000000000000000010，那么选择第二个数字是因为它在最后23位上包含零？ - Vitaly

是的，我是这样理解的。 - Emz

这也被称为“银行家舍入”（bankers' rounding）。 - Andreas

Answer 1

看起来我理解了这个问题。单精度和双精度数字可以用32位和64位的二进制序列表示，具体如下：

b bbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b bbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

这里的b是0或1。 第一组对应于数字的符号。 第二组对应于数字的指数，包括8位（单精度）和11位（双精度）。 第三组对应于数字的尾数，由23位（单精度）和52位（双精度）组成。

因此，对于单精度数字，数字的最低有效位是尾数的第23位，对于双精度数字是尾数的第52位。这是数字的最右边的位。如果这个位是零，它将被选择。

注意： 偶数和奇数仅针对整数值定义。 因此，如果舍入函数只将数字舍入到整数值，则此规则退化为“四舍五入至偶数规则”。

感谢大家的努力。

- Vitaly

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请将此答案标记为“已接受”。如果其他人有相同的问题，他们将更容易找到答案。 - Emz

Answer 2

使用“四舍六入五成双”规则玩得最好的方法是将十六进制表示的双精度数舍入为单精度数，例如在C99或Java编程语言中。

单精度具有23个显式二进制位，因此数字0x1.000000p0、0x1.000002p0、0x1.000004p0等都是单精度数，但其中间的数字不是。

当一个值恰好处于两个连续的单精度浮点数l和u之间时，l和u的二进制展开在符号后的第23位上不同，即1.bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb * 2^exp的表示法中。这是l和u连续的简单结果。

双精度数0x1.000001p0、0x1.000003p0、0x1.000005p0等恰好处于两个单精度数之间，需要根据“最低有效位为零”的规则进行舍入。

示例C99程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(int c, char *v[]) {
  double d = 0x1.000001p0;
  for (int i = 0; i < 10; i++) {
    printf("double-precision:%.6a\n"
           "single-precision:%.6a\n\n",
           d, (float) d);
    d += 0x0.000002p0;
  }
}

展示取整如何将单精度值舍入为在小数点后第23位的二进制数字为0的值的结果：

double-precision:0x1.000001p+0
single-precision:0x1.000000p+0
double-precision:0x1.000003p+0
single-precision:0x1.000004p+0
double-precision:0x1.000005p+0
single-precision:0x1.000004p+0
double-precision:0x1.000007p+0
single-precision:0x1.000008p+0
double-precision:0x1.000009p+0
single-precision:0x1.000008p+0
double-precision:0x1.00000bp+0
single-precision:0x1.00000cp+0
double-precision:0x1.00000dp+0
single-precision:0x1.00000cp+0
double-precision:0x1.00000fp+0
single-precision:0x1.000010p+0
double-precision:0x1.000011p+0
single-precision:0x1.000010p+0
double-precision:0x1.000013p+0
single-precision:0x1.000014p+0

- Pascal Cuoq

Answer 3

这只是意味着当遇到平分的情况时，会采用四舍六入五成双的方式来解决。这也被称为银行家舍入。例如，3.5会被舍入为4.0，但4.5会被舍入为4.0。这也会影响那些过大无法精确表示的数字。例如，在32位浮点数中，整数16777219会被舍入为16777220.0而不是16777218.0，因为后者的表示以1结尾。

- Björn Lindqvist