勾股数练习题

Question

我需要关于以下练习问题的快速提示：

编写一个程序，生成所有小边不大于n的勾股三元组。尝试使用n <= 200。

“不大于n”是什么意思？

练习来源：Java by Dissection（Ira Pohl和Charlie McDowell）

注意：我发现了一个看起来非常好的有关勾股三元组的文章，但我还不想读它，因为它可能会破坏我自己解决这个问题的尝试...

编辑

如果n是小边a的长度，我们说：n是5； 然后我需要检查所有的三元组，其中a = 1，a = 2，a = 3，a = 4，a = 5，并找到勾股三元组的情况。

这个额外的条件有什么用？

也许如果我展示一个实用的代码片段，你会更加接近理解……这里有一小段（Python）代码，它返回几个三元组。我将外层循环的上限设置为20（目前我看不到“n”有其他用途），以使帖子易于管理。

import math
for b in range(20):
    for a in range(1, b):
        c = math.sqrt( a * a + b * b)
        if c % 1 == 0:
            print (a, b, int(c))

这将返回

(3, 4, 5) (6, 8, 10) (5, 12, 13) (9, 12, 15) (8, 15, 17) (12, 16, 20)

这是期望的输出吗？我错过了哪一步？

提前感谢

Baba

- user425727

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尝试使用 n <= 200，这有帮助吗？ - SilentGhost

对于0<a<=20，a<b<c，三元组的集合为{{3, 4, 5}，{5, 12, 13}，{6, 8, 10}，{7, 24, 25}，{8, 15, 17}，{9, 12, 15}，{9, 40, 41}，{10, 24, 26}，{11, 60, 61}，{12, 16, 20}，{12, 35, 37}，{13, 84, 85}，{14, 48, 50}，{15, 20, 25}，{15, 36, 39}，{15, 112, 113}，{16, 30, 34}，{16, 63, 65}，{17, 144, 145}，{18, 24, 30}，{18, 80, 82}，{19, 180, 181}，{20, 21, 29}，{20, 48, 52}，{20, 99, 101}}。这只是一个健全性检查和小限制下的测试集。 - Eric Towers

对于0<a<=200，a<b<c，有711个三元组。最后一个是{200, 9999, 10001}。再次强调，这是对您用于生成这些三元组的任何方法进行的一项合理性检查。 - Eric Towers

@Baba：你的问题已经远远超出了最初的范围。你可能想要关闭它并重新开始。 - SilentGhost

嗨，Silent Ghost，所有的答案都很好。然而，我觉得“三边均不大于n”的语句仍然不清楚。如果我只有a、b、c，那么n从哪里来？ - user425727

PS：Eric下面的回答确实是一个好提示，但它偏离了数学证明“限制最短腿意味着对另一条腿有一个限制”的陈述，这对我并没有帮助，因为我正在寻找一个更简单的答案。我从中得到练习的书籍作者肯定没有想到那么复杂的东西。 - user425727

Answer 1

勾股三元组是直角三角形的整数边。三角形的小边是形成直角的两条边（不是斜边）。

“不大于n”意味着给定一个整数n，必须生成所有可能的整数三元组a b c，使得a <= n，b <= n且a^2 + b^2 = c^2。

- IVlad

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好的，如果我取三元组（3,4,5），那么n的范围是1到3？ n的意义是什么呢？或者换句话说：除了练习本身之外，它还有其他目的吗？我认为Richard在上面已经解释过了……需要更多时间思考，但谢谢。 - user425727

问题在于这个问题有些模糊不清。 "small sides" 中的复数"s" 可能指的是每个复数勾股三元组的一个小边。 - Jason S

@Baba：不，对于你的例子（3,4,5），n的范围是1到4，因为两个较小的边都小于或等于4。 - Matt Ellen

我会遵循Silent Ghost的建议并关闭这个帖子。感谢大家的回答。我认为我需要以不同的方式重新表述我的问题，因为我似乎仍然在原地打转:( - user425727

Answer 2

这个问题的意思是，如果我们假设'a'、'b'和'c'是三角形的边，'c'是斜边，那么'a'和'b'都应该小于'n'。

也就是说，a <= n且b <= n。

- Sachin Shanbhag

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"小边" -- 我会将 'a' 解释为小边。 - Jason S

你应该修复你的不等式，它们肯定是“<=”而不是“<”。 （3并不比3大，所以相等满足要求。） - Jason S

我同意Jason的观点，'n'代表每个三元组中小的一边'a'。 - user425727

虽然有些含糊，但我理解这个问题的意思是a和b都不大于n。这只是一个练习 - 两种方式都试一下。 - Keith Randall

@baba - 只是一个想法，你不知道a、b和c的值。但在编程时，你可以假设a小于n，但b呢？如果没有对b设置限制，它可以是任何值。这就是为什么我认为条件语句中说，你的a和b都需要小于n。这是为了给你的结果定义一个明确的边界。 - Sachin Shanbhag

Answer 3

勾股三元组有无限多个。因此，如果您不对要生成的三元组集合进行限制，程序就无法在有限时间内完成任务。所以我们必须以某种方式限制所需的输出。在这里，我们展示了将最短边加上限制，就意味着限制了另一条边。

我们可以取 a <= b < c。由于我们知道sqrt(2)是无理数，可以排除a = b的可能性，从而得到 a < b < c。由于在勾股三元组中，我们有 a^2 + b^2 = c^2且a不为零，c >= b+1（即c至少与可能的最小值一样大）。把c作为这个限制的最小界限，我们得到a^2 + b^2 = c^2 >= (b+1)^2，这意味着a^2 >= 2b+1或者b <= (a^2 - 1)/2。

所以，对a的限制也限制了b（因此限制了c）。具体来说，如果我们要求a <= n，则我们要求b <= (n^2 - 1)/2。我们还可以推断出c^ 2 <= n ^ 2 +（n ^ 2-1）^ 2/4。

对c的限制相当松散，因此我不建议在c上循环，然后过滤掉太大的三角形。

- Eric Towers

Answer 4

只有有限数量的直角三角形存在，其中最长边小于200个“单位”，因此您可以迭代三条边的每一条边，从1到200的整数列表（通过一些基本测试来加速过程-这就是练习）-如果它们是直角三角形-那么你找到了一个（记得忽略重复项）。

- Richard Green

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那是暴力方法。有更高效的方式来解决这个问题。 - Jason S

Answer 5

可以使用相当简单的公式自动生成勾股三元组。以下是一些讨论此问题的网页：

• 勾股三元组
• 维基百科：通过欧几里得公式生成勾股三元组

另外，关于澄清“其小边不大于n”的问题。假设三元组为（A，B，C），其中A＜B＜C。（C是斜边，A是短边，B是长边）

那么我会将要求解释为找到所有满足A≤n的三元组。（B和C可能大于n）。问题应该更明确地说明“最短边”（“最短”比“最小”更好），或者明确指出A和/或B。

- Jason S