在最大堆中查找第7大的元素？

Question

我的朋友和我在这个问题上有不同的看法。问题是：在具有 n 个元素的最大堆中查找第 7 大的元素的时间复杂度是多少？

我认为它应该是 O(n)，而她认为它应该是 O(1)。我的逻辑是，假设 n 是 7，那么第七个最大的元素将是堆中的最后一个元素，所以如果考虑最坏情况，时间复杂度应该是 O(n)。然而，她说既然它是最大堆，那么查找第七个最大的元素应该只需要常数时间。但按照她的逻辑，甚至第 50 个或第 100 个最大的元素也可以在 O(1) 的时间内找到。此外，在我们遇到这个问题的书中，答案是 O(logn)。

请问哪种解决方案是正确的？

- bigbong

Answer 1

在最大堆中查找第七大元素的简单算法是：

repeat 6 times:
    del-max(heap)
return max(heap)

第一个循环执行恒定数量的del-max操作，每次操作需要O(lg n)的时间。 max操作需要常数时间。 执行del-max操作占主导地位，导致总复杂度为O(lg n)。 我并不是声称这是最优解。

- Fred Foo

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我对堆不是很熟悉，但你指的是 最大值 而不是 最小值 吧？删除了最小的六个元素后，新的最小值却是原来第七个 最大的 元素，听起来不太合理。 - Silly Freak

实际上它是O(k log n)，其中k是项目数量。不是O(log n)。 - Jim Mischel

@bigbong 这在任何一本好的算法教材和Wikipedia中都有介绍。除了 del-max，它还可以被称为 delete、extract-max 等等。 - Fred Foo

哦，是的...我没有将其与提取最大值相关联。明白了。非常感谢。 - bigbong

请注意，这样做会修改堆。因此，您并不是在堆中搜索第k个最大的元素。相反，您正在从堆中删除前k个元素。 - Jim Mischel

@bigbong 感谢您的接受，但实际上其他答案提供了更好的算法和更紧密的界限。您可能想要取消接受我的回答。 - Fred Foo

Answer 2

有一种O(1)的解决方案。假设堆被表示为一棵树，最大元素是根节点。那么第七大元素的节点与根节点之间的距离小于或等于6。与根节点距离<=6的节点数永远不会超过1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127个，这是一个常数。它们可以在常数时间内遍历到。

- kraskevich

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如果k是一个常数，那么2^k就是O(1)。 - kraskevich

确实，+1。只要 k 相对于 n 是固定的，这就是 O(1)。 - Fred Foo

所以，我想如果n为常数，插入排序n个元素需要恒定的时间。也就是说，我可以使用插入排序在常数时间内对100个元素的数组进行排序。毕竟，100是一个常数，所以100^2也是一个常数。虽然从技术上讲是正确的，但并不是特别有用的知识。 - Jim Mischel

是的，第99个是O(1)，n-1不是。 - kraskevich

是的。在复杂度分析中，通常认为n是无限大的。 - kraskevich

Answer 3

对于一个大小为n的堆，其中n >> k，存在一种O(k)的算法来选择第k个元素。可以查看Greg Frederickson的An Optimal Algorithm for Selection in a Min-Heap获取PDF下载链接（位于左上角）。

因此，答案是你、你的朋友和正在阅读的书都错了。

- Jim Mischel

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但是由于这里k = 7，我们将具有O(7)的复杂度...那么这不会将问题降低到仅为O(1)吗？ - bigbong

是的。如果您将 k 保持不变，则复杂度是恒定的。 - Jim Mischel

好的，明白了。谢谢。 - bigbong