将平面上的3D坐标转换为新的2D坐标系。

Question

我一直在做一个个人项目，目的是生成满足方程x^2 + y^2 + z^2 = S的整数解的图像，其中'S'是任意整数。

换句话说，我正在寻找所有3D点[x，y，z]，其中x，y和z都是完全平方整数，且x + y + z = S。

例如，S = 2809将具有以下解：

[144，1296，1369]， [144，729，1936]， [0，0，2809] ...以及上述所有排列（即144 + 729 + 1936 = 1936 + 729 + 144）

在我提出问题之前，这里有一个小的离题讨论，以便更好地理解：

通用方程x + y + z = S的所有解将位于由以下2D平面定义的区域中：

A = [S，0，0] B = [0，S，0] C = [0，0，S]

这是一个关于 x + y + z = 50 的所有解（不仅是正方形点）的图表，以说明此方程的所有解都位于上述定义的 ABC 所界定的同一平面上。请注意，下面三角形的顶点为：[50, 0, 0]、[0, 50, 0] 和 [0, 0, 50]。

回到我的问题： 在找到正方形解决方案点之后，我希望将3D解决方案点转换为基于ABC平面的2D坐标，其中A为(0,0)，B为最大的“x”值，C为最大的“y”值。然后，我希望将这些解决方案输出到图像文件中。

我的线性代数知识很少，我一直无法找到一种方法来将3D坐标转换为基于3个非共线点的2D平面坐标。

我的代码目前是用Python编写的，但算法/数学答案同样好！

非常感谢任何帮助！

- Matt

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这个问题至少有三个不同的问题。请将您的问题集中在“我的输入是”和“期望输出”的形式上，以便我们更好地帮助您。 - Gulzar

@Gulzar 不确定你看到了哪些其他问题。输入：一组3D点。期望输出：在ABC平面上以A为原点的一组2D点。 - Matt

我认为你在使用“转置”一词时实际上是指“变换”（或者可能是投影）—— 转置基本上意味着“交换”。此外，任何三个不同的点都可以定义一个平面，因此说“非共线点”是没有意义的。 - martineau

@martineau，P1 =（1,2,3），P2 =（2,4,6），P3 =（3,6,9）是三个不同的点，它们不能定义一个平面，而是一条直线，因为P2和P3都是P1的线性组合。因此，“非共线”部分并不毫无意义。 - Matt

Answer 1

据我所见，您已经找到了您的 (x, y, z) 点，您的问题是如何将它们投影到一个平面上。

请参考 投影矩阵 以学习如何将3D世界投影到您选择的图像平面上。

具体来说，您需要将您的 (x, y, z) 坐标表示为 齐次坐标，通过将它们称为 (x, y, z, 1) 并将它们乘以与您需要投射的平面正交的相关相机矩阵。

这将得出形式为 (x', y', f) 的2D齐次坐标，通过 (x_projected, y_projected) = (x'/f, y'/f) 您将能够获得投影坐标。 OpenCV 是您的好朋友。

总结：

1. 输入：n个(x, y, z)点 2. 使用opencv获取投影（相机）大小为(4, 3)的矩阵M或使用其他工具进行计算。 3. 给所有点添加最后一个维度1，将它们作为3D齐次坐标获取：n个点(x, y, z, 1) 4. 将所有点乘以矩阵以获取投影点作为2D齐次坐标：M * (x, y, z, 1)^T = (x', y', f) 5. 获取n个实际的2D投影坐标（相对于由M矩阵定义的相机中心）：(x, y) = (x'/f, y'/f)

额外提示：您可以将所有的 (x, y, z, 1) 点堆叠成一个 (4, n) 的矩阵P，并且整个乘法过程将是 R = M * P，一个形状为 (3, n) 的结果矩阵R，其列是生成的齐次坐标。

- Gulzar

Answer 2

我认为Gulzar的答案是正确的，但更侧重于渲染（即相机和齐次坐标）。不过，我确实找到了如何做我想要的事情。

import ast
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def dot_3d(a, b):
    return (a[0]*b[0])+ (a[1]*b[1]) + (a[2]*b[2])

def minus_3d(a, b):
    return [a[0] - b[0], a[1] - b[1], a[2] - b[2]]

def midpoint_3d(a, b):
    return [(a[0] + b[0])/2, (a[1] + b[1])/2, (a[2] + b[2])/2]

def normalize_3d(vec):
    magnitude = math.sqrt(vec[0]**2 + vec[1]**2 + vec[2]**2)
    return [vec[0]/magnitude, vec[1]/magnitude, vec[2]/magnitude]

X = 2809

A = [X, 0, 0]
B = [0, X, 0]
C = [0, 0, X]

S = set([])
for a in range(X+1):
    if int(math.sqrt(a))**2 == a:
        for b in range(X+1):
            if int(math.sqrt(b))**2 == b:
                for c in range(X+1):
                    if int(math.sqrt(c))**2 == c and a + b + c == X:
                        S.add(str([a, b, c]))
S = list(S)

origin = A
normal = normalize_3d([X/3, X/3, X/3])
ax1 = normalize_3d(minus_3d(B, A))
ax2 = normalize_3d(minus_3d(C, midpoint_3d(A, B)))

answers = []

for point_str in S:
    point = ast.literal_eval(point_str)
    x = dot_3d(ax1, minus_3d(point, origin))
    y = dot_3d(ax2, minus_3d(point, origin))
    answers.append([x, y])

plt.scatter([p[0] for p in answers], [p[1] for p in answers])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

开始绘制3D坐标图：

在ABC平面上的“投影”坐标：

- Matt

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介意从几何角度解释一下你所做的吗？ - Gulzar

此外，请注意函数 dot_3d、minus_3d 和 midpoint_3d 可以使用（标准）numpy库通过给定两个 np.array，分别用 a * b、a - b 和 (a + b) / 2 表示。同时，normalize_3d 可以使用 normalized_v = v / np.sqrt(np.sum(v**2)) 实现。 我不太理解您代码中的投影部分。 - Gulzar

更好的是，normalized_v = v / np.sqrt(np.sum(v**2)) 可以写成 normalized_v = v / np.linalg.norm(v)。 - Gulzar