为什么`\x -> f x x`等于`join f`？

Question

最近我发现对于\x -> f x x，它的pointfree形式是join f，并且想要理解为什么会这样。我从下面开始:

join :: Monad m => m (m a) -> m a

我遇到了困难，因为我不熟悉“函数单子”。能否有人帮助我通过类型推导来解释相等性？

- rityzmon

Answer 1

这是一个对类型层次上的Monad ((->) r)进行代数变换的简单操作。当我们专门化并简化join的类型时，请注意。

join :: Monad m => m        (m        a)  -> m        a
join ::            ((->) r) (((->) r) a)  -> ((->) r) a  -- Specializing
join ::            (r ->    (r ->     a)) -> (r ->    a) -- Infix
join ::            (r ->     r ->     a)  -> r  ->    a  -- Simplifying

- R B

Answer 2

如果我们在join类型中用x ->替换m，则可以得到(x -> x -> a) -> x -> a。如果我们将f应用于该类型（假设它具有x -> x -> a的类型，其中一些x和a），则我们得到x -> a，这也是\x -> f x x的类型。

- sepp2k

Answer 3

这里没有深入的见解，只有一个机械的解释。

instance Monad ((->) r) where
    f >>= k = \ r -> k (f r) r

join的定义如下：

join f = f >>= id

替换定义

join f = \x -> id (f x) x
       = \x -> f x x

- karakfa