浮点数乘法的精度问题

Question

在浮点数和双精度浮点数上执行乘法、除法、加法和减法等运算是否会保持它们的精度？

例如，如果我将1000个浮点数相乘（或相除、相加、相减），我是否仍然保持7位数字的精度？

我在这个网站上读到了这篇文章，指出精度是被保持的(http://floating-point-gui.de/formats/fp/)，但我想再次确认。

- M. Pope

---

请查看此链接，它将有助于提高您的内容质量。 - Willie Cheng

使用乘法/除法，平均损失为sqrt(N)，约为30位。 - chux - Reinstate Monica

Answer 1

有精度和准确度之分。一个float的精度总是相同的。但你的计算的准确度取决于各种实现特定的细节。

例如，如果每个计算引入了半个LSB的误差，那么经过1000次计算后，结果可能会偏离500个LSB。因此，尽管答案精确到7位数字，但只有4位数字是准确的。

- user3386109

---

谢谢！这正是我需要的！ - M. Pope

“最坏情况下，每次计算都会引入半个LSB的误差，因此进行1000次计算后，您的结果可能偏差500个LSB。”这是一个非常具有误导性的陈述，因为它没有考虑到“1 LSB”在每个计算中所代表的量并不相同。例如，对于1e20 + 14 - 1e20这个计算，尽管只涉及两个操作的舍入误差，但其通常仅准确到0位数字。 - user2357112

@user2357112 好的，我已经重新措辞了那段话。大数之间的微小差异确实是一个问题，但它与我试图阐明的累积小误差的问题略有不同。 - user3386109

最坏情况下的错误是一回事，错误概率密度是另一回事。对于乘法的情况，请参见http://stackoverflow.com/questions/12047410/the-number-of-correct-decimal-digits-in-a-product-of-doubles-with-a-large-number/12052359#12052359。 - aka.nice

Answer 2

答案取决于您所说的“保持精度”的意思。单个浮点数始终具有大约7位数字的“精度”（由于二进制存储而不完全是7位数字）。

某些计算可能会引入舍入误差，这可能会使最低有效位不正确，但这些错误可能会累积（如用户3386109在其回答中解释的那样），或者它们可能会被放大。放大的一个例子是，如果我正在计算形式为(f(x+h)-f(x))/h的微积分极限，当h趋近于零时。如果f(x+0.0000001)应该是3.1234567，但我得到了3.1234566，并且f(x)给出了正确的3.1234568。现在，公式应该是(3.1234567-3.1234568)/0.0000001，即-1，但我得到了(3.1234566-3.1234568)/0.0000001，即-2。

突然间，我的最低有效数字变成了最高有效数字。还有其他放大舍入误差的方法和避免它的技巧。

在处理非整数类型时，始终要注意舍入误差。一些舍入误差失败的示例

- Kyle A