如果矩阵A的行数多于列数,则应使用最小二乘法拟合。
如果矩阵A的行数少于列数,则应执行奇异值分解。每种算法都尽力使用假设来给出解决方案。
以下链接显示如何使用SVD作为求解器:
http://www.ecse.rpi.edu/~qji/CV/svd_review.pdf
我来将其应用到你的问题上,看看是否有效:
您的输入矩阵 A
和已知的右手边向量 B
:
> A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
> B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
> B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
让我们分解您的A
矩阵:
> asvd = svd(A)
> asvd
$d
[1] 8.007081e+00 4.459446e+00 4.022656e-16
$u
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.1295469 -0.8061540 0.5773503
[2,] 0.7629233 0.2908861 0.5773503
[3,] 0.6333764 -0.5152679 -0.5773503
$v
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.87191556 -0.2515803 -0.1764323
[2,] -0.46022634 -0.1453716 -0.4694190
[3,] 0.04853711 0.5423235 0.6394484
[4,] -0.15999723 -0.7883272 0.5827720
> adiag = diag(1/asvd$d)
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0.00000e+00
[2,] 0.0000000 0.2242431 0.00000e+00
[3,] 0.0000000 0.0000000 2.48592e+15
这是关键:在d
中的第三个特征值非常小;相反,在adiag
中的对角元素非常大。 在解决之前,将其设置为零:
> adiag[3,3] = 0
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0
[2,] 0.0000000 0.2242431 0
[3,] 0.0000000 0.0000000 0
现在让我们计算解决方案(请参见我上面给你的链接中的第16张幻灯片):
> solution = asvd$v %*% adiag %*% t(asvd$u) %*% B
> solution
[,1]
[1,] 2.411765
[2,] -2.282353
[3,] 2.152941
[4,] -3.470588
现在我们有了一个解决方案,让我们将其替换回去,看看是否给我们相同的
。
> check = A %*% solution
> check
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
这是你开始的B面,所以我认为我们做得很好。
以下是AMS提供的另一个不错的奇异值分解讨论:
http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-svd
solve
的文档文件中,他们提到“qr.solve可以处理非方系统。”所以当我使用这里给出的A和B,并尝试qr.solve(A,B)
时,我会收到错误消息Error in qr.solve(A, B) : singular matrix 'a' in solve
。有什么想法吗? - Gimelist