1/sqrt(x)和std::exp(-0.5 * std::log(x))之间的数值权衡

Question

我发现了一些旧代码，计算的是：

double y = 1 / std::sqrt(x);

使用：

constexpr double base16 = 16.0;
double log_base16 = std::log(base16);
double y = std::pow(base16, -0.5 * std::log(x) / log_base16);

这实质上是：

double y = std::exp(-0.5 * std::log(x));

这些方法在数值方面是否有任何合理的优势（如准确性或更容易避免下溢/上溢）？原作者可能认为有。

- keith

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它可以有多久的历史？constexpr在2011年被标准化。 - Potatoswatter

@Potatoswatte，我清理了语法，使示例对人们尽可能清晰明了。 - keith

Answer 1

原始代码在现代C++标准和IEEE754浮点数中都应被视为非常淘气，因为IEEE标准要求std::sqrt是精确的。此外，std::pow没有这样的要求。因此，我倾向于将其重写为1 / std::sqrt(x)，当然需要测试。参考：http://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/sqrt

- Bathsheba

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请注意，“精确”可能会有代价。理论上，替代代码可能更快。话虽如此，这是非常理论性的。唯一快速的对数是以2为底数及其幂次方，指数也是如此。2^(log2(x)/2) 可能比旧代码快得多。 - MSalters

@MSalters 当然，使用异或运算可能更快，但对于大多数值来说，它的准确性会降低。 - Yakk - Adam Nevraumont

@Yakk：std::exp2(std::log2(x)/2))的速记。 - MSalters

@MSalters 不，^在C++中是异或。加油！ ;) - Yakk - Adam Nevraumont

Answer 2

我看不出用pow()和log()来实现sqrt()有什么特别好的理由。可能是sqrt()的实现中存在错误，这是一种解决方法。

总的来说，我认为这种实现方式会更慢、更不精确。

- Paul Floyd

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鉴于 1 / std::sqrt(x)，我相信我们可以假设 x>0。 - MSalters