浮点数相等性测试引起的困惑？

Question

数字6.35无法精确表示：

alert( 6.35.toFixed(20) ); // 6.34999999999999964473

但是为什么6.35 * 10 == 63.5是正确的呢？

6.35不够精确，10是精确的，而63.5是精确的。我无法理解为什么（不精确的* 精确的）等于精确的。

- Bicheng

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JavaScript中的数字精度为16或17位数字 - 您要求21位（包括6...也许这个问题可以帮助您。 - Bravo

舍入系统旨在最小化舍入误差，而不是保证它总是会影响比较结果。您得出的结论只意味着最接近 6.35 的数乘以 10 并四舍五入至最近的数字后是 63.5。 - Patricia Shanahan

Answer 1

这是逻辑错误：最后一个操作6.35 * 10.0不准确而不是准确的。
只有可能连续发生多个“舍入误差”抵消，也可能累积它们。

635/100的最接近双精度浮点数是 635/100-1/2,814,749,767,106,560 ，或者如果您愿意，可以使用 635/100-1 /（10 * 2 ^ 48）。因此，准确的* 10 操作应该回答 635/10-1/（2 ^ 48）。但是，这个数量不能表示为双精度浮点数（请参见下文）......因此，最后一个操作是不准确的。

这两个相邻的数是63.5（正好是 635/10 ）和它的前任 635/10-1/（2 ^ 47）。一个有趣的精确连接情况：精确数量与两个可表示的双倍邻居相同的距离， 默认舍入模式是四舍五入，连接到偶数，因此FPU将选择具有偶数有效位数的double，即 635/10 。

这是IEEE 754算术的好运还是一个好属性？ 如果我在Squeak / Pharo Smalltalk中评估此代码片段（具有精确分数和精确算术值的比较）：

(1 to: 10000) count: [:x | (x/10.0) = (x/10) and: [(x/100.0) ~= (x/100)]].

我得到了 1600 个案例，其中 x/10 能够被准确地表示为双精度浮点数，而 x/100 则不能。

如果我选择这 1600 个案例，并验证舍入误差是否被消除：

((1 to: 10000) select: [:x | (x/10.0) = (x/10) and: [(x/100.0) ~= (x/100)]])
    count: [:x | (x/100.0*10) = (x/10)]

我发现在1600个案例中，误差被抵消了，这是IEEE754算法的一个好特性。但这仍然是运气。

如果我尝试将其除以1000.0再乘以100，我会得到一个错误答案：

((1 to: 10000) select: [:x | (x/10.0) = (x/10) and: [(x/1000.0) ~= (x/1000)]])
    allSatisfy: [:x | (x/1000.0*100) = (x/10)]

答案对于1920个案例中的1649个是正确的，这已经是一个很好的分数了。

- aka.nice

Answer 2

Javascript使用IEEE 754浮点标准，其中所有数字都无法准确表示。

数字表示为2的幂的倍数，包括负二次幂，分母不是2的幂的数字无法准确表示。

出于同样的原因，我们得到0.1 + 0.2 == 0.3 //false。

这是二进制浮点数最著名的副作用，对于所有使用IEEE 754格式表示数字的语言（不仅仅是Javascript），这一点仍然成立。

因此，在处理小数值时，有些情况需要更加小心。

最常接受的做法是在进行比较时使用微小的舍入误差。这个值被称为机器epsilon，它是2 ^ 52。

从ES6开始，Number.EPSILON预定义了这个容差值。

function numbersCloseEnoughToEqual(n1,n2) {
  return Math.abs( n1 - n2 ) < Number.EPSILON;
}

var a = 6.35.toFixed(20);
var b = 6.35;

console.log(numbersCloseEnoughToEqual( a, b ));// true

- Akshay Bande

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这并没有回答所提出的问题。 - Eric Postpischil

我试图解释浮点数的工作原理以及javascript如何通过IEEE 754标准（Number.EPSILON）来最小化副作用。我尝试提到用户在处理小数值时应该做什么以避免副作用。这就是用户询问“我不明白为什么（不准确*准确）等于准确”的意图所在。 - Akshay Bande

当然，你试图解释浮点数的工作原理以及JavaScript如何最小化浮点算术的不良影响。然而，这并没有回答问题：为什么将6.35和10相乘会得到恰好63.5，即使6.35并不完全等于6.35。无论你在这个答案中尝试做什么，这个答案都没有回答被问出的问题。 - Eric Postpischil

此外：(a)“数字表示为2的整数次幂”是不正确的。这可能主要是语言问题；“数字表示为2的幂的倍数，包括负2的幂”才是正确的。(b)建议使用容差进行比较通常是错误的建议。(c)建议容差为绝对值Number.EPSILON是错误的。使用浮点结果计算时产生的误差从0到无穷大，也可以是NaN，因此没有单个容差可以使用。 - Eric Postpischil

对于点(a)，我已经更新了我的答案，对于点(b)，是的，你绝对是正确的，没有单一的公差可以适用。但是在这里，我试图比较两个浮点值，其中一个可以是操作的结果，另一个可以是期望的，例如0.1 + 0.3将得到不同的结果，但期望的结果是0.3，因此您可以使用numbersCloseEnoughToEqual来获得正确的结果。 - Akshay Bande