如何确定一个多边形是凸的还是凹的？

Question

用户输入n个点。我需要检查多边形是否存在，然后确定其类型-凸多边形还是凹多边形。我知道如果多边形的每个角度都小于180度，则该多边形是凸多边形。因此，问题就是要找到多边形的每个内角。我一直在寻找公式或算法，但没有成功。

例子：

输入：n = 4；

点1: (5;6)

点2: (4;-5)

点3: (-5;4)

点4: (-5;5)

期望输出：多边形是凸多边形。

目前的代码如下：它只能找到平面上点之间的最大和最小距离。

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double a[15][2];
    int n;
    cin >> n;
    if (n <= 0 && n > 15)
        return 1;

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cout << "x" << i << " = , y" << i << " = ";
        cin >> a[i][0] >> a[i][1];
    }

    double maxDistance = 0.0;
    double minDistance = 0.0;
    double maxpoint1[2];
    double maxpoint2[2];
    double minpoint1[2];
    double minpoint2[2];

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            if (j != i)
            {
                double x1 = a[i][0];
                double x2 = a[j][0];
                double y1 = a[i][1];
                double y2 = a[j][1];
                double currentDistance = sqrt(pow(x2 - x1, 2) + pow(y2 - y1, 2));

                if (currentDistance > maxDistance)
                {
                    maxDistance = currentDistance;
                    maxpoint1[0] = x1;
                    maxpoint1[1] = y1;
                    maxpoint2[0] = x2;
                    maxpoint2[1] = y2;

                }

                if (minDistance > currentDistance)
                {
                    currentDistance = minDistance;
                    minpoint1[0] = x1;
                    minpoint1[1] = y1;
                    minpoint2[0] = x2;
                    minpoint2[1] = y2;
                }

                cout << "x1 = " << x1 << " y1 = " << y1 << " x2 = " << x2 << " y2 = " << y2;
                cout << endl << "Distance is " << currentDistance;
                cout << endl;
            }
        }
    }

    cout << "The max distance is: " << maxDistance << " between x1 = " << maxpoint1[0] << " y1 = " << maxpoint1[1] << " and x2 = " << maxpoint2[0] << " y2 = " << maxpoint2[1];
    cout << "The min distance is: " << minDistance << " between x1 = " << minpoint1[0] << " y1 = " << minpoint1[1] << " and x2 = " << minpoint2[0] << " y2 = " << minpoint2[1];


    return 0;
}

- S.Yankov

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这个回答解决了你的问题吗？如何高效地确定一个多边形是凸多边形、非凸多边形还是复杂多边形？ - StayOnTarget

Answer 1

要判断多边形是凸多边形还是凹多边形，只需检查所有相邻的三个点的叉积的符号CrossProduct(P[0], P[1], P[2])等。例如

CrossProductSign(A, B, C) = 
               SignOf((B.X - A.X) * (C.Y - B.Y) - (B.Y - A.Y) * (C.X - B.X))

对于凸多边形，所有的叉积必须具有相同的符号（+ 或 -）。

工作原理：对于凸多边形，每个三元组都会朝着同一方向旋转（或者顺时针，或者逆时针，取决于行走方向）。对于凹多边形，一些符号将不同（当内角大于180度时）。请注意，您无需计算角度值。

- MBo

Answer 2

如果您想找到两条边之间的夹角，请使用向量的叉积或点积。

a dot b = |a||b| cos(angle_between_vectors)  = a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2]

内角将是(pi -向量间夹角)

顺便说一下，多边形可能会相交，这在许多用例中也是有害的问题。您的定义将无法检测到这一点。例如，复杂的四边形将使其所有角度都小于90度。

这不是确定多边形是否为凸多边形的唯一方法，而且可能是最计算密集的方法之一？点积的问题在于，它的符号将显示角度是否小于还是大于pi/2。判断多边形是否不复杂或非凸的正确方法是检查转向是否改变。为此，您需要进行叉积计算。对于二维向量，它们的叉积结果只有z分量（垂直于平面），其符号确定旋转方向。

该问题已经在此处。

如何高效地确定多边形是凸多边形、非凸多边形还是复杂多边形？

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