如何使用Bash命令计算圆周率？

Question

我正在学习Bash脚本编程。在探索数学函数时，我遇到了一个可以计算圆周率的命令。

seq -f '4/%g' 1 2 99999 | paste -sd-+ | bc -l

虽然我了解基本的seq命令的工作原理，但我无法理解上述命令的工作方式。请问有人可以澄清一下它是如何工作的吗？

- poorvank

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为什么它不能像这样简单：bc -l <<< 'scale=5; 22/7'？ - anubhava

请查看维基百科上名为“连分数”（Continued fractions）的部分。 - pawel7318

@anubhava 抱歉，但π不是22/7。 - devnull

当然我知道，但是即使这个seq也是近似值，虽然毫无疑问它更好。 - anubhava

相关链接：https://superuser.com/questions/275516/how-can-i-generate-pi-to-a-given-number-of-decimal-places-from-a-script - Ciro Santilli OurBigBook.com

Answer 1

这个程序使用Gregory-Leibniz级数计算π的值：

seq -f '4/%g' 1 2 99999生成以下分数：

4/1
4/3
4/5
4/7
4/9
4/11
4/13
4/15
4/17
4/19

粘贴管道paste -sd-+将分隔符-和+交替组合。

最后，bc -l执行算术运算以给出结果。

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编辑：如评论中所述，此序列收敛非常缓慢。 Machin公式的收敛速度显着更高：

使用相同的展开式计算π，我们可以看到它仅使用系列的前50项即可产生正确值的50位数字¹：

$ { echo -n "scale=50;"; seq 1 2 100 | xargs -n1 -I{} echo '(16*(1/5)^{}/{}-4*(1/239)^{}/{})';} | paste -sd-+ | bc -l
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510

仅使用100个项，π的值可以精确计算超过100个数字：

$ { echo -n "scale=100;"; seq 1 2 200 | xargs -n1 -I{} echo '(16*(1/5)^{}/{}-4*(1/239)^{}/{})';} | paste -sd-+ | bc -l
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

¹ 圆周率Pi

- devnull

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那个序列收敛得非常缓慢。您需要超过1500次迭代才能获得比22/7更好的近似值。 - Keith Thompson

@KeithThompson 没错。这个编辑使用 Machin 公式计算 π，收敛速度 非常 快。 - devnull

Answer 2

这并不是直接回答您有关使用 seq 的问题，但是 pi 可以很容易地使用 bc 计算：

 echo "scale=1000; 4*a(1)" | bc -l

a 是反正切函数，它给出了 pi 的 1000 位小数。

- James Scriven

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你可以在末尾使用管道 sed 's/.$//' 并将其更改为 scale=1001，因为最后一位数字会被篡改，但我仍然喜欢这个答案。 - mchid

@mchid 或者您也可以使用 xargs 管道，以便在行尾处摆脱 \。 - Vadim A. Misbakh-Soloviov

我还会添加BC_LINE_LENGTH=0 bc -l以避免行的混乱换行：https://unix.stackexchange.com/questions/365510/how-to-avoid-wrapping-in-bc-output - Ciro Santilli OurBigBook.com

Answer 3

seq -f 4 %g 1 2 99999 

提供数据：

4/1
4/3 
4/5 
...
4/9999

粘贴命令将此列表中的第一项和第二项之间插入一个“-”，将第二项和第三项之间插入一个“+”，以此类推（并将其放在一行上，如下所示）：

4/1-4/3+4/5-4/7......4/9999

这是一个近似于圆周率的值。使用"bc"程序可以计算并输出该值。

- Nathaniel Flath

Answer 4

当你真正需要一些甜蜜的圆周率数字时：

sudo apt install pi
pi 10000000

使用time <command>对比echo "scale=10000; 4*a(1)" | BC_LINE_LENGTH=0 bc -l的基准测试：

digits	pi	bc
10^3		0.24s
10^4	6ms	87s
10^5	60ms
10^6	0.8s
10^7	14s

pi 命令是 CNL C++ 任意精度库的演示：https://www.ginac.de/CLN/

在 Ubuntu 22.04 和 Lenovo ThinkPad P51 上测试通过。

- Ciro Santilli OurBigBook.com