Applicative函子。 <*> 和<$>的类型签名详解

Question

我们有签名：

(<$>) :: Functor f     =>   (a -> b) -> f a -> f b
(<*>) :: Applicative f => f (a -> b) -> f a -> f b 

让我们试着玩一下：

(/)  <$> Just 5       <*> Just 2
=> Just 2.5

((/) <$> Just 5     ) <*> Just 2
=> Just 2.5

( Just (\x -> 5/x ) ) <*> Just 2
=> Just 2.5

Question:

((/) <$> Just 5) <*> Just 2
^^^^^^^^^^^^^^^^     @@@@@@

(<$>) :: Functor f     =>   (a -> b) -> f a -> f b
                                               ^^^
(<*>) :: Applicative f => f (a -> b) -> f a -> f b
                          ^^^^^^^^^^    @@@

我理解应该按照类型匹配 ^^^ 部分。为什么 <$> 的返回类型在签名中不会与 <*> 的输入类型视觉上匹配呢？

我在这里漏掉了什么？谢谢。

- Max

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提示：首先写出(/)的类型，然后确定a和b是什么。记住函数是柯里化的。 - Robin Zigmond

Answer 1

虽然它是匹配的，但是(<$>)和(<*>)函数中的f、a和b是变量，并且每次使用该函数时这些变量都是不同的。

因此，更有意义的做法是在这里将这些函数定义为：

(<$>) :: Functor f     => (a -> b)   -> f a -> f b
(<*>) :: Applicative g => g (c -> d) -> g c -> g d

这意味着 ^ 和 @ 会匹配，例如：

((/) <$> Just 5) <*> Just 2
^^^^^^^^^^^^^^^^     @@@@@@

(<$>) :: Functor f     => (a -> b)   -> f a -> f b
                                               ^^^
(<*>) :: Applicative g => g (c -> d) -> g c -> g d
                          ^^^^^^^^^^    @@@

我们知道(/) <$> Just 5的类型是f b和g (c -> d)，而Just 2的类型是g c。由于Just 2 :: Num n => Maybe n，那么g ~ Maybe和c ~ n（这里x ~ y表示x和y是同一种类型）。此外，我们可以推导出f b ~ g (c -> d)，因此f ~ Maybe，b ~ (c -> d)。

我们还可以分析(/) <$> Just 5表达式。我们知道Just 5 :: Num m => Maybe m，所以a ~ m。函数(/)的类型是(/) :: Fractional k => k -> k -> k，因此a ~ b ~ k ~ m，因此我们知道(/) <$> Just 5的类型是(/) <$> Just 5 :: Fractional m => Maybe (m -> m)（Fractional m意味着Num m）。

正如我们已经发现的那样，b ~ (c -> d)，因此m ~ c ~ d，因此表达式的类型为：((/) <$> Just 5) <*> Just 2 :: Fractional m => Maybe m。

- Willem Van Onsem

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感谢您。似乎需要在以下位置进行一些更正：...因此我们知道 (/) <$> Just 5 其类型为 (/) <$> Just 5 :: (Num m, Fractional m) => Maybe (m -> m)。 - Max

你能给我更多关于Applicative的提示吗？我看到通常的多参数函数应用f x y z和applicative f <$> x <*> y <*> z之间的相似之处，但是我无法想象在通常的函数应用程序世界中有任何直接的<*>和<$>的类比。此外，我感觉部分应用在这里某种程度上也涉及到了？ - Max

(/) <$> Just 5 的结果是 Just ((/) 5)，所以你说的部分应用是正确的。Just ((/) 5) <*> Just 2 的结果是 Just ((/) 5 2)，因此得到了 Just 2.5。 - Willem Van Onsem

然而，以某种方式计算 f x y z，我们没有定义任何新函数（就像我们使用 <*> 和 <$> 一样...我仍然觉得这里缺少一些元素...）。 - Max

“我们不定义任何新函数”是什么意思？ - Willem Van Onsem

让我们在聊天中继续这个讨论。 - Max