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如何在C++中表示线段的向量方程？

c++vectorgraphicsline
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我正在从事计算机图形学相关工作。

我想用两个端点表示一条线段，然后我希望我的Line2d类有一个方法返回一个Vector2d对象。

假设我有以下类：

struct Point2d
{
    int x;
    int y;
};

然后，我可以使用两个点轻松表示一条线段：

class LineSegment2d
{
private:
    Point2d start;
    Point2d end;
public:
    ...
    ...
};

根据定义，向量由大小和方向组成。
class Vector2d
{
private:
    Point2d p;
public:
    double Magnitude(void);
    Point Component(void);
    Vector2d Normal();
    Vector2d & Add(Vector & rhs);
    Vector2d & Subtract(Vector & rhs);
    Vector2d & Multiply(int scalar);
    int DotProduct(Vector2d rhs);
    Vector2d & CrossProduct(Vector2d rhs);
};
r = P + t(PQ) or r = Q + t(QP), where PQ and QP are vectors representing the direction of the line segment.
r =<1,3,2> + tv

或者，
r =<-4,3,0> + tv

连接两点P和Q的向量为，
PQ  = <(-4-1), (3-3), (0-2)>
    = <-5, 0, -2>

而且，这个向量肯定与我们的主线平行。

因此，我们可以写成：

r   =<1, 3, 2> + t <-5, 0, -2>
    =<1, 3, 2>+<-5t, 0, -2t>
    = <(1-5t), (3+0), (2-2t)>
    =<1-5t, 3, 2-2t>

根据线段的向量方程，我认为我的Vector类应该如下所示：

class LineVector2d
{
private:
    Vector2d v;
    double t;
public:
    ..........
};

这是否是正确的表示方式？

如果是的话，我该如何计算/设置/找到t的值？

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你真正想问什么？你的问题中包含了太多问题，让我有些摸不着头脑。 - Krumelur
Line2d类的方法应该返回哪个向量？ - kasterma
一个由int坐标构成的向量的大小并不总是一个int（例如，(1,1)的大小为sqrt(2)）。 - kasterma
据我理解，入站或出站不是边缘的属性，而是边缘和多边形之间特定交点的属性（长边可以与多边形有入站和出站交点）。因此，这不是边缘的属性。 - kasterma
http://www.ck12.org/search/?q=domain:Directed%20Line%20Segments - user366312
6个回答
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有许多形式的线表示。

如果您指的是线（而不是线段），那么可能会发现使用包含基准点和单位方向向量的类/结构很方便。

对于线段，请在（Point pt0，Point pt1）形式和（Point pt，Vector v = pt1 - pt0）形式之间选择。

第二种形式更适合参数化方法，如X = P0.X + t * D.X等。

线段是有限的，因此向量D具有确定的长度（线段的长度）。对于直线而言，存储方向向量长度没有意义，因此单位方向向量更好（用于某些计算）。 - MBo
我没有C#代码，但认为任何用C#编写的几何库都包含所需的基元。 - MBo
1
使用问题中提供的线段表示方法。
我将用LS(a,b)表示起点为a，终点为b的线段。
现在假设有两个这样的线段LS(a,b)和LS(c,d)相交（在您的上下文中，一个来自剪辑多边形，另一个来自被剪辑的多边形；我假设您知道如何确定这一点）。
您似乎想要回答的是，当LS(c,d)穿过边缘LS(a,b)时，这个交点是否使LS(c,d)进入多边形内部。
为此，只需确定线段方向之间的夹角即可。这与向量v = b-a和w = d-c之间的夹角相同。
此外，您甚至不需要角度，您只需要查看角度是正数还是负数; 所以请查看向量w-v。如果LS(c,d)穿过LS(a,b)到内部，则该向量将在下半平面中。如果LS(c,d)穿过LS(a,b)到外部，则该向量将在上半平面中。
确定上半平面与下半平面意味着查看end-start的第二个坐标。
对于这篇长文，我很抱歉，但是mathjax似乎在此站点上不活动。还没有代码，但是我相信（如果我没有犯任何错误），我提到的所有操作都容易转换为代码。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=angle+between+vector+%7B0%2C180%7D+%7B180%2C0%7D - user366312
https://www.wolframalpha.com/input/?i=angle+between+vector+%7B0%2C180%7D+%7B-180%2C0%7D - user366312
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如果您想要非常数学化，也许这可以帮助您：https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates 在二维中，位置为（x，y，1），方向为（dx，dy，0）。原因是投影，在二维中很少见但在三维中很常见。
所以尝试回答一下：始终使用4个组成部分的向量。位置具有w = 1，方向具有w = 0。
只需使用基于两点A和B的线进行尝试，两者都具有w = 1。从A到B的向量是B-A，最终结果为w = 0。
此外，您在代码中使用的内容并不重要，除非您最终优化了特殊情况。选择最小的数据结构即可。开始和结束应该没问题。
也许考虑索引：所有顶点的平面数组，每条线仅是指向顶点数组中的两个索引。
你能写一些C++代码来展示你的意思吗？ - user366312
1
如果您想将线段转换为向量，您需要意识到并不存在“通用语义”来进行转换，这取决于您定义转换的含义。话虽如此，我假设您想要一个具有与线段长度相同（欧几里得）范数并指向相同方向的向量，即像这样：
class LineSegment2d
{
   ....
   Vector2d getVector() const {
      return Vector2d(end) - Vector2d(start);
   }
};

换句话说，将线段偏移至坐标系原点。然后可以将终点转换为矢量。
编辑：在了解更多关于您为什么需要这样的信息后，您可能正在寻找另一种表示方法。
class LineSegment2d
{
   ....
   Vector2d getVector() const {
      return Vector2d(end);
   }
};

这将为每条线段获取一个向量：即终点。如果您的多边形由相连的线段组成，则这将为您提供多边形中的所有顶点。
我正在使用Weiler-Atherton算法。该算法需要区分多边形边缘是入边还是出边。我不确定我的Line2d表示方式（使用start和end）是否能够满足此要求。因此，我在想是否需要使用向量表示。 - user366312
嗯，你确定不想要每个多边形线段的顶点吗？（免责声明：在浏览维基百科页面一两分钟后） - Krumelur
我认为可以通过使用端点并按顺时针顺序沿线段进行实现算法。 - Krumelur
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我认为存在以下混淆:

按照定义，向量由大小和方向组成。

有多种方法表示向量。我认为在你的问题中，你指的是一个向量可以由大小（标量）和指示方向的单位向量表示。一个向量可以只是一个有序三元组（对于三个维度），它指示了大小 (sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) 和从原点的方向。

我认为你的问题的答案是，你不需要计算 t。请纠正我，但我认为你把 t 解释为大小？你可以用 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) 从 v 计算出大小，但 v 可以自身作为一个有序三元组保存大小和方向。

编辑：

template <typename T>
struct Point2d
{
    T x;
    T y;

    Point2d operator + (const Point2d<T>& rhs) const
    {
        return Point2d<T>{x + rhs.x, y + rhs.y};
    }
    Point2d operator - (const Point2d<T>& rhs) const
    {
        return Point2d<T>{x - rhs.x, y - rhs.y};
    }
    // ...

    Point2d operator * (const T value) const
    {
        return Point2d<T>{x*value, y*value};
    }
    Point2d operator / (const T value) const
    {
        return Point2d<T>{x/value, y/value};
    }
    // ...
};

template <typename T>
class Vector2d
{
private:
    Point2d<T> p;
public:
    Vector2d(const Point2d<T>& point) : p{point} {}

    /*double Magnitude();
    Point2d<T> Component();
    Vector2d Normal();
    int DotProduct(Vector2d rhs);
    Vector2d& CrossProduct(Vector2d rhs);*/

    Vector2d operator + (const Vector2d<T>& rhs) const
    {
        return p + rhs.p;
    }
    Vector2d operator - (const Vector2d<T>& rhs) const
    {
        return p - rhs.p;
    }
    // ...

    Vector2d operator * (const T value) const
    {
        return p*value;
    }
    Vector2d operator / (const T value) const
    {
        return p/value;
    }
    // ...
};

template <typename T>
class LineVector2d
{
private:
    Point2d<T>  p;
    Vector2d<T> v;

public:
    LineVector2d() = default;
    LineVector2d(const Point2d<T>& point, const Vector2d<T>& direction) : p{point}, v{direction} {}

    /// Returns the point on the line for the time/value `t`
    Point2d<T> valueAt(T t)
    {
        return p + v*t;
    }
};
@BROY，你能否澄清一下LineVector2d除了Vector2d所做的事情之外还应该做什么？我认为这会有助于回答“如何计算/设置/查找t的值？” - R2-Dequeue
好的。但是，你如何给变量t赋值？在Point2d<T> valueAt(T t)方法中，你从哪里找到/计算/确定变量t的值？ - user366312
@BROY 这就是我困惑的地方，t 的取值范围从负无穷到正无穷，你可以输入任何值来获取从t=0开始的以p/point为起点的直线上的点。猜一个可能性：你是在尝试计算与某个东西的交点，并想要发生交点的t值吗？ - R2-Dequeue
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你对于类LineSegment2d的表示是正确的。但是，类Vector2d的表示是不正确的。这是因为你只考虑了那些通过原点的向量。在二维平面上，一个向量可以用三个分量表示，就像在三维空间中一样。一个向量的三个分量分别是：方向、大小和它经过的一个点。如果我们为三维空间定义x、y和z轴，那么对于x-y平面上的一个点，z分量等于0。此外，在三维空间中，方向是以方向余弦的形式定义的（即向量与轴之间的夹角的余弦）。因此，对于x-y平面上的向量，向量与z轴之间的夹角的余弦等于零（因为夹角=90度）。

请编写一个完美的Line2d类，并附上解释，以便我可以使用向量表示一条线，并且我会接受您的答案并点赞并授予100点奖励。就这些。 - user366312
你想让我写Line2d类还是Vector2d类？ - Sid
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