高效计算N维叉积？

Question

根据标题，计算n维叉积的最佳方法是否仅使用行列式定义并使用LU分解方法，或者您能建议更好的方法吗？

谢谢

编辑：为了清晰起见，我指的是http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product而不是笛卡尔积

编辑：似乎使用莱布尼兹公式可能有帮助-虽然我目前不知道它与LU分解的比较。

- Eiyrioü von Kauyf

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你不希望使用针对大 N 的莱布尼茨公式，因为它会非常快地变得昂贵！对于 N>4，LU分解方法可能是更好的选择。 - comingstorm

你所说的“叉积”是什么意思？你引用的维基百科文章提到了七维的叉积，然后说“在一般的维度中，没有直接类比于二元叉积的东西可以特别地产生一个向量”。你是指楔积还是其他什么？ - MvG

@MvG，抱歉，我是指楔积，我想是吧？我指的是这部分“。此外，使用方向和度量结构，就像传统的三维叉积一样，在n维中可以取n-1个向量的积以产生垂直于它们所有的向量的向量。但是，如果将积限制为具有向量结果的非平凡二元积，则仅存在于三维和七维中。”具体而言，是n-1个向量的积（假设存在）-还有如何知道它是否仅限于非平凡二元积？例如一个检查？ - Eiyrioü von Kauyf

“二元积”意味着您需要一个将两个向量作为输入的操作，而不是您提到的$n-1$个向量。“非平凡”意味着它不会仅独立于其输入“计算”零向量。楔积也是二元的。您关心结果的长度吗，还是只关心它的正交性？如果是后者，则您只需寻找（元素）核的$(n-1)\times n$矩阵由输入向量形成。有多种方法可以计算该核，例如使用Lapack。 - MvG

Answer 1

从您的评论中，似乎您正在寻找一种操作，该操作将n - 1个向量作为输入，并计算一个向量作为其结果，该向量将与所有输入向量正交，并且可能具有定义良好的长度。

带有定义长度

您可以使用恒等式v = a × b 来表征三维叉积v，其中v ∙ w = det(a,b,w)。换句话说，对输入向量进行叉积，然后计算与任何其他向量w的点积相同，就像将输入向量和该其他向量插入矩阵并计算其行列式一样。

这个定义可以推广到任意维度。由于行列式可以使用Laplace expansion沿着最后一列计算，因此叉积的结果坐标将是从输入向量中可以形成的所有(n −1)×(n −1)子行列式的值，交替带符号。所以，理论上莱布尼兹可能有用，但实际上它几乎不适用于现实世界的计算。在实践中，您很快就会想出避免重复计算这n个行列式的方法。但请等待本答案的最后部分...

大多数应用程序只需要较弱的要求。它们不关心生成向量的长度，而只关心其方向。在这种情况下，您所要求的是通过将输入向量作为行形成的（n −1）×n矩阵的核。该核的任何元素都将与输入向量正交，由于计算核是一项常见任务，因此您可以建立在许多现有 实现上，例如Lapack。细节可能取决于您使用的语言。

你甚至可以将上述两种方法结合起来：计算核的一个元素，对于该向量的非零条目，还可以使用第一种方法计算相应的（n −1）×（n −1）行列式，从而得到该单个坐标。然后，您可以简单地缩放向量，使所选坐标达到计算值，并且所有其他坐标将与该坐标匹配。

- MvG