我有这个递归函数：
f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
f(1) = 2
f(2) = 8
根据我的经验，它的显式形式应该是：
f(n) = 3 ^ n - 1 // pow(3, n) - 1
我想知道有没有办法证明这一点。我谷歌了一下，但没有找到简单易懂的东西。我已经知道生成函数可能会解决它，但它们太复杂了，我不想深究它们。我正在寻找一个更简单的方法。
附言：如果有帮助的话，我记得有类似这样的解决方法：
f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
// consider f(n) = x ^ n
x ^ n = 2 * x ^ (n-1) + 3 * x ^ (n-2) + 4
然后你以某种方式计算出了X，导致递归公式的显式形式，但我记不太清楚了。
f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
f(n+1) = 2 * f(n) + 3 * f(n-1) + 4
f(n+1)-f(n) = 2 * f(n) - 2 * f(n-1) + 3 * f(n-1) - 3 * f(n-2)
f(n+1) = 3 * f(n) + f(n-1) - 3 * f(n-2)
现在数字 4 已经没有了。 正如你所说，下一步是让 f(n) = x ^ n。
x^(n+1) = 3 * x^n + x^(n-1) - 3 * x^(n-2)
除以 x^(n-2)
x^3 = 3 * x^2 + x - 3
x^3 - 3 * x^2 - x + 3 = 0
因式分解以找到x
(x-3)(x-1)(x+1) = 0
x = -1 or 1 or 3
f(n) = A * (-1)^n + B * 1^n + C * 3^n
f(n) = A * (-1)^n + B + C * 3^n
现在使用你已经拥有的值来找到A、B和C
f(1) = 2; f(2) = 8; f(3) = 26
f(1) = 2 = -A + B + 3C
f(2) = 8 = A + B + 9C
f(3) = 26 = -A + B + 27C
求解A、B和C：
f(3)-f(1) = 24 = 24C => C = 1
f(2)-f(1) = 6 = 2A + 6 => A = 0
2 = B + 3 => B = -1
最后
f(n) = 3^n - 1
好的，我知道您不想要生成函数（GF），以及所有复杂的内容，但我的问题是非线性的，简单的线性方法似乎不起作用。因此，在经过一整天的搜索后，我找到了答案，希望这些发现对其他人有所帮助。
我的问题：a[n+1]= a[n]/(1+a[n])（即不是线性的（也不是多项式），但也不完全是非线性的 - 它是一个有理差分方程）
RSolve[{a[n + 1] == a[n]/(1 + a[n]), a[1] == A}, a[n], n]得到了一个简单的{{a[n] -> A/(1 - A + A n)}}。所以我想我会回去查找手工计算中的错误（它们有助于理解整个转换过程的工作方式）。通常情况下，将递归形式转换为迭代形式的算法不存在。这个问题是不可判定的。例如，考虑以下定义Collatz序列的递归函数：
f(1) = 0
f(2n) = 1 + f(n)
f(2n + 1) = 1 + f(6n + 4)
目前还不清楚这是否是一个明确定义的函数。如果有一种算法能够将其转换为闭合形式，那么我们就可以确定它是否被明确定义。
然而，在许多常见情况下，可以将递归定义转换为迭代定义。优秀的教材《具体数学》花费了大量篇幅来展示如何做到这一点。当您有猜测答案时，一种常见的技术是使用归纳法。以您的情况为例，假设您相信您的递归定义确实给出了3^n - 1。为了证明这一点，请尝试证明它对于基本情况成立，然后展示这个知识让您可以向上推广解决方案。您没有在帖子中提供一个基本情况，但我假设
f(0) = 0
f(1) = 2
f(n) = 2f(n - 1) + 3f(n - 2) + 4
= 2 * (3^{n-1} - 1) + 3 * (3^{n-2} - 1) + 4
= 2 * 3^{n-1} - 2 + 3^{n-1} - 3 + 4
= 3 * 3^{n-1} - 5 + 4
= 3^n - 1
所以我们刚刚证明了这个递归函数确实产生了3^n - 1。