C++比较两个浮点数的值

Question

我想知道以下两种方式在比较两个双精度浮点数时的区别：

方式一：

double a1 = ...;
double a2 = ....;

1. fabs(a1-a2) < epsilon
2. (fabs(a1-a2)/a2) < epsilon

有没有更好的方法？

谢谢

- Guillaume Paris

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“prefering way” 很大程度上取决于周围的算法。两者都有用（还有更冗长的 fabs(a1 - a2) / min(a1, a2) 和 fabs(a1 - a2) / max(a1, a2)，尤其是当你不知道这些数字是否接近零时，max(fabs(a1 - a2), fabs(a1 - a2) / a1) 就更加重要了）。 - Alexandre C.

Answer 1

这篇文章非常详细地回答了您的问题。您可能想跳到“Epsilon比较”一节。

- Martin Stone

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添加了来自链接文章的引用，希望您不介意，如果您愿意，可以回滚。 - Binary Worrier

我担心那个引用并没有真正回答他的问题：我认为他意识到了精度问题，只是想知道为什么要除以a2。我考虑过最初引用一些内容，但我认为最好保留原文。我已经回滚并编辑以指示最相关的部分。 - Martin Stone

Answer 2

个人而言，我在比较两个 double 时使用 std::nextafter。这会使用一个值的最小 epsilon（或最小 epsilon 的一个 factor）。

bool nearly_equal(double a, double b)
{
  return std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::lowest()) <= b
    && std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::max()) >= b;
}

bool nearly_equal(double a, double b, int factor /* a factor of epsilon */)
{
  double min_a = a - (a - std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::lowest())) * factor;
  double max_a = a + (std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::max()) - a) * factor;

  return min_a <= b && max_a >= b;
}

- Daniel Laügt

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nearly_equal(..,..,epsilon)的结果不等于：fabs(right-left) < epsilon ？ - Guillaume Paris

nearly_equal(a, b, factor) 函数使用 factor * epsilon(a) 的容差来检查两个数的相等性。fabs(a-b) < epsilon 函数使用给定的 epsilon 容差来检查两个数的相等性。这两个表达式都很好，可以根据我们想要测试的内容进行使用。有时候，我们想要使用固定的 epsilon 来检查（即使找到正确的 epsilon 很困难：epsilon (1e20) = 16384）。有时候，我们想要使用 epsilon 的因子来检查（即使找到正确的因子也很困难）。现在对于 fabs(a-b) < fabs(a) * epsilon，最好使用 nearly_equal(a, b, epsilon) 函数来提高准确性。 - Daniel Laügt

Answer 3

Epsilon的值根据双精度范围内的值而变化。如果您想使用自己的和固定的epsilon，我建议选择1的epsilon。

fabs(a1-a2) < epsilon

这并不完美。如果a1和a2是由小数字进行计算得出的结果，那么epsilon将会很小。如果a1和a2是由大数字进行计算得出的结果，那么epsilon将会很大。

fabs((a1-a2)/a2) < epsilon

如果您希望按比例缩放epsilon，那么这个方法就好一些了。但是，如果a2等于0，就会出现除以0的情况。

fabs(a1-a2) < fabs(a2)*epsilon

这个已经好一些了。然而，如果 a2 等于 0，这是不正确的。 fabs(a2)*epsilon 将等于 0 ，并且两个值 a1=0.000000001 和 a2=0 的比较总是失败。

fabs(a1-a2) < max(fabs(a1), fabs(a2))*epsilon

这有一些改进。然而，这是不正确的，因为epsilon在连续方面不成比例。使用IEEE编码，epsilon在以2为基数的离散方式上与一个值成比例。

fabs(a1-a2) < 2^((int)log2(max(fabs(a1), fabs(a2)))*epsilon

当a1和a2均不等于0时，我认为这看起来是正确的。

一个通用方法的实现可以是：

bool nearly_equal(double a1, double a2, double epsilon)
{
  if (a1 == 0 && a2 == 0)
    return true;

  return std::abs(a1 - a2) < epsilon * pow (2.0, static_cast<int> (std::log2(std::max(std::abs(a1), std::abs(a2)))));
}

- Daniel Laügt

Answer 4

这个问题已经得到了很好的解决，但还有一些要点需要说明：

fabs(a1-a2) < epsilon

比较a1和a2的绝对差异与容差epsilon的大小。如果您事先知道缩放比例（例如，如果a2实际上是一个常数），那么这可能是适当的，但如果您不知道a1和a2有多大，则通常应避免使用它。

第二种选项几乎计算出了相对差异，但存在一个错误；它实际上应该是：

fabs((a1-a2)/a2) < epsilon

请注意，除法运算在绝对值符号内部；否则，这个条件对于负数的a2是无意义的。相对误差在大多数情况下更为准确，因为它更接近浮点舍入实际发生的方式，但有些情况下它并不适用，你需要使用绝对公差（通常是由于灾难性抵消）。有时你会看到以以下形式书写的相对误差界：

fabs(a1-a2) < fabs(a2)*epsilon

这通常会更有效，因为它避免了除法操作。

- Stephen Canon

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真的很喜欢最后一个表单，不太明白它在哪种情况下不起作用。 - Guillaume Paris

如果我的数字范围在10e-7到10e6之间，我应该使用哪个epsilon值？ - Guillaume Paris

@Guillaume07：如果值分布在如此大的范围内，您肯定要使用相对误差比较之一（我列出的第二或第三个选项）。更微妙的问题是“我该如何选择适当的epsilon值？” - Stephen Canon

请注意，在进行相对差异epsilon比较时，您不应该盲目地除以a2（或a1）。如果这样做，那么当compare（a，b）产生与compare（b，a）不同的结果时，您会得到不对称性。那将是糟糕的。您需要始终除以具有最大或最小绝对值的数字。像这样：auto largest = max(fabs(a1), fabs(a2)); return fabs(a1 - a2) < fabs(largest)*epsilon; - Bruce Dawson

Answer 5

前者仅比较绝对值，而后者比较相对值。假设将epsilon设置为0.1：如果a1和a2都较大，则这可能足够了。但是，如果两个值接近于零，第一种方法将认为大多数值相等。

这真的取决于您要处理的值的类型。如果使用稍微更具数学合理性的第二种情况，请务必考虑a2==0的情况。

- Pontus Gagge