n选取地板(n/2)的渐近增长

Question

我可以帮助你翻译。以下是需要翻译的内容：

如何找到 n 选 floor(n/2) 的渐近增长？我尝试使用展开式，得出它等于

[n*(n-1)*........*(floor(n/2)+1)] / (n-floor(n/2))!

有什么想法可以帮助我继续进行吗？ 非常感谢任何帮助，更倾向于提示而非答案。

- hussein hammoud

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尝试使用斯特林公式。 - Gassa

这个问题似乎不适合讨论，因为它涉及数学而非编程，因此应该发布在math.SE上。 - sds

@sds：我很想说，这个问题足够通用，你回答的方法和结果在编程中非常重要，所以它完全适合放在SO上。我会让它保持开放状态。(对于许多类似的“数学问题”，我不会说同样的话——这个问题得到了我的特别关注，因为二项式系数的渐近性质是许多重要内容的核心。) - tmyklebu

@tmyklebu：我同意你陈述的事实，但不同意你的结论;-) - sds

Answer 1

我同意以上答案，但希望提供更深入的解释。假设 n 是偶数，则有：

为了上界，我们在分子中使用斯特林近似的上界，在分母中使用下界（例如，我们希望得到最大的分子和最小的分母）。这将给我们上界：

然后我们将分母中的指数分开，得到：

消去，将 从分母移到分子并简化，我们得到：

使用相同的过程，将Stirling的上界近似值放在分母中，下界放在分子中。这将得到：

因此，我们知道它的下界是某个常数乘以 ，它的上界是另一个常数乘以 。

因此，我们得出结论，其渐近增长为 。

- ryan

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就我个人而言，由于stackoverflow的暗模式，我几乎无法阅读方程式，并且建议的编辑队列已满。有人能解决这个问题吗？ - J. Schmidt

Answer 2

使用斯特林公式，你会得到

n! = \sqrt{2n\pi}(n/e)^n

如果你将其代入$\choose{n}{n/2}$，最终应该得到

2^{n+1/2}/\sqrt{n\pi}

PS. 在您实际使用答案之前，您可能需要检查一下我的数学 :-)

- sds

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谢谢 :) 你给了我一个方法和答案，让我有所收获！这已经超出我的期望了 :-) 虽然一定会检查数学的 :) - hussein hammoud

你的回答假设n是偶数，对吧？并且用n/2代替了floor(n/2)？谢谢。 - hussein hammoud

我们无论如何都在谈论渐近性！ - sds