为什么在Python中，除以接近零的数会有不同的行为？

Question

这其实并不是一个问题，而是Python实现的浮点运算中有趣的现象。

有人能解释一下以下行为吗？

>>> 1/1e-308
1e+308
>>> 1/1e-309
inf
>>> 1/1e-323
inf
>>> 1/1e-324
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: float division by zero

似乎将1除以接近于零的数会得到“inf”，如果更接近“ZeroDivisionError”就会抛出异常。这似乎是一种奇怪的行为。

在Python 2.x/3.x中输出相同结果。

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编辑：我主要的问题是为什么在某些范围内我们会得到“inf”，而不是ZeroDivisionError，假设Python似乎将1e-309视为零。

- emartinelli

Answer 1

这与IEEE754浮点格式本身有关，而不是Python的实现。

一般来说，浮点数可以表示比较小的负指数，而不能表示太大的正指数，因为存在非规格化数。这种情况下，浮点数的尾数部分不再隐含地以1开头，而是描述整个尾数，并以零开头。如果你不知道这是什么，请阅读有关浮点数表示的文章，可以从这里开始。

因此，当你倒置一个非规格化数时，可能会得到一个过大而无法表示的正指数。计算机会用inf代替它。你例子中的1e-308也是非规格化的，但当倒置时仍然不会太小而溢出（因为在正常数中，标准实际上允许略大于负指数的正指数）。

对于1e-324，那个数字太小了，即使作为非规格化数也无法表示，所以该浮点数字面值实际上等于零。这就是为什么你会得到除以零的结果。可表示的最小64位浮点数是（略低于）5e-324。

- Dolda2000

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这完全与Python对IEEE 754的（非）实现有关。一个理智的编程语言应该允许除法发生（处理器正确实现了它，不像Python设计者），并产生适当的结果。相反，Python明确测试除数是否为零，并在这种情况下表现不同。这需要额外的周期，不能防止溢出发生，并且意味着Python不符合IEEE 754标准（因为在IEEE 754中，1.0 / 0.0会产生+inf）。 - Pascal Cuoq

@PascalCuoq：从技术上讲，这并不完全正确，因为如果启用了陷阱，使用IEEE754算术会导致异常。然而，由于这远非默认行为，因此您的观点是有效的、值得注意的。但是，两种行为之间的差异是由于反规格化数的倒置导致溢出被产生，因此我认为答案不需要重新表述。 - Dolda2000

Answer 2

Python中可以用作浮点数字的最小值为：

2.2250738585072014e-308

Python使用双精度浮点数，其可容纳从约10的-308次方到10的308次方的值。

维基百科 - 双精度浮点格式

实际上，您可能可以通过非规格化数获得比1e-308还要小的数字，但这会带来显著的性能损失。我发现Python可以处理1e-324，但在1e-325下溢并返回0.0作为值。

- ᴀʀᴍᴀɴ

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谢谢，我明白了。然而，我还不明白为什么我们在一个小范围内得到inf而不是像Python应该返回的ZeroDivisionError。这可能是语言设计中有意为之的吗？ - emartinelli

在Python shell中，我测试了1e-323不等于零，但是1e-324等于零，因此会引发除以零的错误。正如我提到的，Python中浮点数的最小值为2.22e-308，比这个值更小的数值Python不会进行任何数学计算，只是使用try catch来避免引发divideByZero错误。 - ᴀʀᴍᴀɴ

“但是这会对性能产生显著影响”--仅供记录，这并不一定正确。我相信大多数来自英特尔和AMD的大型架构都可以处理denormals、infinities和NaNs而不会有额外的惩罚。此外，也应该指出，与运行解释的Python代码相比，惩罚将非常微小。;) - Dolda2000

Answer 3

大部分内容已经由Dolda2000在他的答案中解释了。然而，看一下可能会更有帮助。

>>> 1e-308
1e-308
>>> 1e-309
1e-309
>>> 1e-323
1e-323
>>> 1e-324
0.0

正如你所看到的，在Python实现中，1e-324等于0.0。正如Dolda2000所说的那样：这个数字太小了，即使作为非规格化数表示也不行，因此浮点字面值实际上等于零。

- Sнаđошƒаӽ