如何在除10进制以外的进制中计算浮点数？

Question

如何在除10进制以外的进制中计算浮点数？

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鉴于维基百科上关于基数点的文章，如何计算10.1的二进制等价物或17.17的十六进制等价物？对于前者，十分之一的二进制等价物是什么？对于后者，17/100的十六进制表示是什么？

我更希望得到一个算法，而不仅仅是这两个例子的解决方案。

- bugmagnet

5个回答

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这个算法相当简单，但在实践中，您可以通过查找表和日志进行许多微调以加快速度。但对于基本算法，您可以尝试以下内容：

shift=0;

while v>=base,  v=v/base, shift=shift+1;  

Next digit: 
if v<1.0 && shift==0, output the decimal point
else 
   D=floor(v)
   output D
   v=v-D
v=v*base
shift = shift-1
if (v==0) exit;
goto Next Digit

您还可以在其中放置一个测试，以便在更长的重复小数后停止打印N位数字。

- SPWorley

希望我能打勾两个事情。这个和被打勾的那个一样值得打勾。 - bugmagnet

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一个有限位数可以表示的终止数字n₁在b₁进制下，可能在不同的进制b₂下成为一个无限循环小数。反之，在b₁进制下的无限循环小数可能在b₂进制下成为一个有限位数可以表示的终止数字。

当将数字0.1₁₀转换为二进制时，它是一个无限循环小数，而0.17₁₀转换为十六进制时也是如此。但是，在3进制中，终止数字0.1₃在转换为十进制后，变成了无限循环小数0.(3)₁₀（表示数字3重复）。同样地，将0.1₁₀转换为二进制和0.17₁₀转换为十六进制时，得到的结果是无限循环小数0.0(0011)₂和0.2(B851E)₁₆。

因此，当从一种进制转换为另一种进制时，你可能需要近似表示这个数字，而不是完全准确地表示。

- Roshan

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十分之一的二进制等价于二分之一，即不是1/10^1，而是1/2^1。

每个数字代表2的幂。小数点后面的数字是相同的，只是它们代表2的负幂：

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16

因此，对于10.1，显然需要一个“8”和一个“2”来组成10部分。 1/2（0.5）太多了，1/4（0.25）也太多了，1/8（0.125）也太多了。我们需要1/16（0.0625），这将使我们剩下0.0375。 1/32是0.03125，所以我们也可以采用它。到目前为止，我们有：

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
 1 0 1 0    0   0   0   1     1

误差为0.00625。1/64（0.015625）和1/128（0.0078125）都太大了，1/256（0.00390625）就可以了：

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256
 1 0 1 0    0   0   0   1     1    0   0     1

误差为0.00234375。

十进制小数.1在二进制中无法准确表达（就像1/3在十进制下无法准确表达一样）。根据小数点的位置，你最终不得不停止、可能四舍五入，并接受误差。

- Chris Arguin

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在我使用GMP库进行调整之前，这里是我尝试使Rick Regan的PHP代码适用于从2到36的任何进制的地方。

Function dec2base_f(ByVal ddecimal As Double, ByVal nBase As Long, ByVal dscale As Long) As String
    Const BASES = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" 'up to base 36
    Dim digitCount As Long
    Dim wholeNumber As Double
    Dim digit As String * 1
    digitCount = 0
    dscale = max(dscale, Len(CStr(ddecimal)) - Len("0."))
    Dim baseary_f As String
    baseary_f = "0."
    Do While ddecimal > 0 And digitCount < dscale
        ddecimal = ddecimal * nBase
        digit = Mid$(BASES, Fix(ddecimal) + 1)
        baseary_f = baseary_f & digit '"1"
        ddecimal = ddecimal - Fix(ddecimal)
        digitCount = digitCount + 1
    Loop
    dec2base_f = baseary_f
End Function

Function base2dec_f(ByVal baseary_f As String, nBase As Double) As Double
    Const BASES As String = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    Dim decimal_f As Double
    Dim i As Long
    Dim c As Long
    For i = Len(baseary_f) To Len("0.") + 1 Step -1
        c = InStr(BASES, Mid$(baseary_f, i, 1)) - 1
        decimal_f = decimal_f + c
        decimal_f = decimal_f / nBase
    Next
    base2dec_f = decimal_f
End Function

Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 2, 200), 2) --> 0.09
Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 8, 200), 8) --> 0.09
Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 16, 200), 16) --> 0.09

- bugmagnet

我的PHP代码基于BCMath，这是一个基于任意精度、十进制字符串的库。而你的代码则基于双精度浮点二进制。我不确定通过这种方式来改编我的代码是否能够达到你想要的效果。 - Rick Regan

一旦我停止使用Double并开始使用GMP，我将得到我想要的东西。上面的代码更多是一个概念证明而不是生产代码。我已经用GMP做了很多事情，现在，由于你的帮助，我可以做像=BASEPOWER（16、123，“-A”）这样的事情，即将0x123升至负A。 - bugmagnet

我假设您正在使用GMP浮点数（类型mpf_t）？来自GMP手册（http://gmplib.org/gmp-man-4.3.0.pdf），第48页：“尾数以二进制形式存储...这样做的一个后果是，十进制小数如0.1无法精确表示。”因此，请确保使用足够的精度，以便根据所使用的基数（例如，一个基数32位数字等于五个基数2位数字）将转换准确到所需的位数。 - Rick Regan

哎呀，额，嗯，还有其他一些声音，当有人指出我忽略的东西时，我会发出这些声音。谢谢你的提醒。 - bugmagnet

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可以查看英文原文，
原文链接

- Rick Regan · Accepted Answer

要将十进制数10.1转换为二进制，需要将整数部分和小数部分分开并分别进行转换。

将整数部分转换为二进制，使用重复的整数除法运算，并倒序写下余数：

10/2 = 5 余数0

5/2 = 2 余数1

2/2 = 1 余数0

1/2 = 0 余数1

答案：1010

将小数部分转换为二进制，使用重复的乘以2的操作，在每一步中减去整数部分。按生成顺序排列的整数部分表示你的二进制数：

0.1 * 2 = 0.2

0.2 * 2 = 0.4

0.4 * 2 = 0.8

0.8 * 2 = 1.6

0.6 * 2 = 1.2

0.2 * 2 = 0.4

0.4 * 2 = 0.8

...（循环无限重复）

因此，十进制数0.1是二进制数0.000110011001100...

（有关更详细的说明，请参见我的文章http://www.exploringbinary.com/base-conversion-in-php-using-bcmath/中的dec2bin_i()和dec2bin_f()例程。）

对于十六进制，使用相同的过程，但将除数/乘数改为16。余数和大于9的整数部分必须直接转换为十六进制数字：10变成A，11变成B，...，15变成F。