三角测量：寻找一个三维点，使其距离N条/射线的距离最小化。

Question

三角测量：寻找一个三维点，使其距离N条/射线的距离最小化。

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在3D空间中给定多条直线（N条），使用最小二乘法找到距离所有直线距离最小的3D点。

enter image description here

How can I express this in Least Square Matrix Form? Thus, Having:
[A] - Variables matrix ( known )
[x] - Unknown vector
[b] - dependent variables vector

Ax=b => Least-Square

有了距离公式的基础，A、x和'b'应该填什么？

- NadavRub

可能是查找使得到N条直线的距离最小的点的重复问题。 - Ivaylo Strandjev

我想说“续集”，但不幸的是，我无法按照时间顺序将上面的图片添加到您描述的帖子讨论中，因此我创建了一个新帖子。 - NadavRub

这不就是d个平方和吗？对于每一行，你都有一个距离，只需将它们平方并相加即可。 - Salix alba

我想使用最小二乘矩阵形式来解决它，因此我需要：变量的矩阵[A]（已知值），未知数的向量[x]，以及因变量的向量[b]。然后，应使用标准最小二乘法来解决(Ax=b) ==> x = (ATA)-1ATb（其中T-转置，-1是逆）。我正在尝试弄清如何以矩阵形式表达上述内容。 - NadavRub

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Salix alba · Accepted Answer

如果您展开上述 d^2 的公式，您会发现它的形式为：

d^2 = Cxx Px Px + Cxy Px Py + ... + Ex Px + Ey Py + Ez Pz + F

其中Cxx，Ex，F等是与A和B向量有关的常数。现在对每一行求和，将其称为S，这是Px、Py和Pz的二次函数。

S = Sxx Px Px + Sxy Px Py + ... +  Rx Px + Ry Py + Rz Pz + T

现在进行区分。

dS/dx = 2 Sxx Px +   Sxy Py +   Sxz Pz + Rx
dS/dy =   Syx Px + 2 Syy Py +   Syz Pz + Ry
dS/dz =   Szx Px +   Szy Py + 2 Szz Pz + Rz

作为S的最小值，每个都必须为零。您可以将其以矩阵形式写成A x = b。[A]是Sxx等的矩阵，b是向量-[Rx，Ry，Rz]，x是向量[Px，Py，Pz]。

我现在已经实现了一个2D版本作为jsfiddle http://jsfiddle.net/SalixAlba/Y3yT9/1/，算法的核心非常简单。

var sxx = 0;
var sxy = 0;
var syy = 0;
var rx = 0;
var ry = 0;
var t = 0;
// each line is defined by a x + b y + c = 0
lines.forEach(function(line, index, array) {
    var div = line.a * line.a + line.b * line.b;
    sxx += line.a * line.a / div;        
    sxy += line.a * line.b / div;        
    syy += line.b * line.b / div;        
    rx += line.a * line.c / div;        
    ry += line.b * line.c / div;        
    t += line.c * line.c / div;        
});
// Derivative of S wrt x and y is
//  2 sxx x + 2 sxy y + 2 rx = 0
//  2 sxy x + 2 syy y + 2 ry = 0

// Solve this pair of linear equations
var det = sxx * syy - sxy * sxy;
if(Math.abs(det) < 1e-6) {
    sol = { x: -10, y: -10 };
    return;
}
// (x) =  1  ( syy    -sxy ) ( -rx )
// ( ) = --- (             ) (     )
// (y)   det ( -sxy    sxx ) ( -ry )
var x = ( - syy * rx + sxy * ry ) / det;
var y = (   sxy * rx - sxx * ry ) / det;
console.log("x "+x+" y "+y);
sol = { x: x, y: y };
return;