如何用小的浮点数除以一个定点数？

Question

我需要将一组5U11数字除以6.02，并希望在不进行浮点数转换的情况下完成此操作。

5U11表示一个16位无符号数字，其中11个最低有效位表示小数部分。

我该如何表示6.02，单次计算的误差上限是多少？

- Vorac

---

你希望结果是什么？一个小数点后有n位的定点数还是一个float/double类型的浮点数？ - Ingo Leonhardt

与输入数字相同：5U11。 - Vorac

这些是无符号还是有符号的数字？ - David Hammen

Answer 1

解决这个问题最直接的方法是计算6.02的16位反数；即计算round(2^16 / 6.02) = 0x2a86。请注意，最高位未设置，因此我们可以选择更高的被除数并重新计算以获得更高的精度；在这种情况下，round(2^18 / 6.02) = 0xaa1a。

现在，取出你的5U11数字，进行16x16到32位扩展乘法，然后向右移动（在本例中）18位，以获得作为5U11值的结果。

例如：

14.3562 * (2^18 / 6.02) = 625148.122 / 2^18 = 2.384
0x72d9  * 0xaa1a        = 0x4c4fc40a >> 18  = 0x1313

这种方法会稍微降低一些精度，但是可以通过改进这种简单的方法来略微提高精度（关于这个主题和其他有用的内容，请参阅Henry S. Warren的书Hacker's Delight）。

显然，如果您有一台能够进行更宽的乘法运算的机器，您可以将被除数的大小增加到2^18以上，这将增加您的精度。

---

更新

四舍五入

如果要四舍五入到最近的整数，则应将d / 2添加到被除数中（因此在上面的示例中，被除数为2^18，因此舍入值为2^17或0x20000。

误差分析

考虑到小域，最简单的方法是进行详尽搜索以确定最大误差。使用上面的示例并使用四舍五入，通过添加0x20000，最大误差出现在x=0xfa19处：

0xfa19 * 0xaa1a + 0x20000 = 0xa62e008a >> 18 = 0x298c

实际答案应该是：

31.2622 / 6.02 = 5.193058

虽然我们已经有了答案，但是

0x298c * 2^-11 = 5.193359

在这种情况下，误差为0.000302，或者说是0.62个LSB。

改进这些结果

可以选择更具体的舍入常数来最小化误差界限；本质上，这让我们能够补偿我们的乘法逆元（此处为0xaa1a）不精确的事实。在这种特定情况下，最佳值似乎在0x1c200左右，这将产生0.56个LSB的误差界限。

- al45tair

---

通过0x8000和32位乘法的一轮计算，最大误差出现在x = 31.158203125（0xF944），结果为5.17529296875（0x2967），数学上应该是5.17578125（0x2968），即偏离1.0个比特。 - chux - Reinstate Monica

@chux 这是因为你应该添加0x20000，而不是0x8000（因为这里选择的移位是18位，而不是16位）。所以，实际上，你得到的是（0xf944 * 0xaa19 + 0x20000）>> 18 = 0x2968。 - al45tair

@chux，除非我错了，您的错误因子为2。使用舍入值0x20000的最大误差为0.63个LSB（在0xff6b = 31.9272处）。仍然不完美（我注意到这样做会失去一点精度），但小于1个LSB。 - al45tair

@chux，你是不是漏了一个零？应该是x += 0x20000;，而不是x += 0x2000。 - al45tair

关于偏移量计算的补充思考：使用乘数0.166114807（0xAA1A/2^18）和正确的乘数0.166112957（1/6.02）之间的差异，在x=0处产生了线性偏差，而在65535处偏差为（mu-cm）*range或0.1212或（<1/2 * 1/4）。通过调整0x20000偏移量，这种偏差被分成两部分。因此，现在在接近0时，偏差为-0.0606，在接近65535时，偏差为+0.0606。因此，我们应该预期最坏情况下的误差约为0.5606位。_近似偏移量_直接由0.1212 =（0x20000 *（1-0.1212））推导而来。除了通过实验外，尚未得出_best offset_。 - chux - Reinstate Monica

Answer 2

一次简单的100倍缩放就足够了。

uns16_t x_5U11;
uns32_t acc;
acc = x_5U11;
acc *= 100;
acc += 301; // for round to nearest rather than truncation.
acc /= 602;

错误限制：在x_5U11中，1/2个LSbit。

--

如果速度最重要，则按照@alastai的建议进行多次乘法和除法（通过移位）。通过适当的四舍五入，答案应该在+/- 1 LSBit范围内。

如果精度最重要，则此方法提供+/- 1/2 LSbit（最佳可能答案）。

[编辑] 感谢@Ingo Leonhardt指出我有一个反转的解决方案。

- chux - Reinstate Monica

---

这也是一种非常缓慢的乘法方式，这就是为什么你在实际应用中从不会使用上述方法。最可能的做法是将6.02写成5U11（或者可能是3U13），将其乘以一个32位的字并使用移位操作来修正答案。 - al45tair

@alastair同意用除以602的方式比移位慢。但速度不是OP所述的目标。上述方法可以创建一个定义明确、最准确的答案。这是经典问题——速度与准确性之间的权衡。 - chux - Reinstate Monica

准确性似乎并不重要，因为这个答案是完全错误的（它是一个乘法而不是除法）。此外，固定点乘法很容易描述（如果您想要四舍五入，只需在乘法后添加“0x8000”即可）。 - al45tair

@alastai 这个回答是正确的。请提供一个未能支持你所说的话的示例。OP问“单次计算的误差上限将会是什么？” 因此，准确性与OP有关。通过除法，误差被保留在1/2 LSBit内，这是最好的答案。将(2^18 / 6.02)相乘，然后移位（带或不带四舍五入因子）并不总是提供最佳答案。在OP的5U11中尝试3.0或0x1800。 我的答案是0x03FD（0.49853...）。你的方法提供了0x3FC（0.49804...）和3/6.02为0.49833... - chux - Reinstate Monica

抱歉 - 我没有注意到您在答案中将文本更新为除法而不是乘法。此外，您关于我的方法的示例是不正确的；如果您要移位18位而不是16位，则应添加0x20000而不是0x8000，在这种情况下，“我的”方法也提供0x03fd。 - al45tair