为什么显示nan？

Question

好的，我正在进行一个程序，我试图使右侧的结果与左侧相等，精确到0.0001％
正弦x = x - (x ^ 3) / 3！+（x ^ 5）/ 5！+（x ^ 7）/ 7！+ ....

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<math.h>

using namespace std;

long int fact(long int n)
{
    if(n == 1 || n == 0)
        return 1;
    else
        return n*fact(n-1);
}

int main()
{
    int n = 1, counts=0; //for sin
    cout << "Enter value for sin" << endl;
    long double x,value,next = 0,accuracy = 0.0001;
    cin >> x;
    value = sin(x);
    do
    {
        if(counts%2 == 0)
            next = next + (pow(x,n)/fact(n));
        else
            next = next - (pow(x,n)/fact(n));
        counts++;
        n = n+2;
    } while((fabs(next - value))> 0);
    cout << "The value of sin " << x << " is " << next << endl;
}

假设我输入了 x 的值为 45 我得到的结果是
sin 45 的值为 NaN（非数值）。

有没有人能帮我看看我哪里错了？

- Animesh Risal

---

45! 约为 1e56。这个数字超出了 long 的范围，因此您的 fact 函数无法返回正确的答案。 - Alan Stokes

你尝试过打印出每个next的连续值吗？这样或许能更容易看出问题出在哪里。 - Alan Stokes

你是否意识到你的方程式（以及std::sin()函数本身）在x以弧度表示时给出x的正弦值，而不是角度？此外，当要求你编写自己的sin()函数时，通常假定不存在其他sin()函数。 - Klitos Kyriacou

Answer 1

首先，您的while条件应该是while((fabs(next-value))> accuracy)，并且fact应该返回long double类型。即使更改了这些内容，对于45的值仍然无法正常工作。原因是这个泰勒级数收敛速度太慢了，对于大的值来说，误差太大了。这里是公式中的误差项：

其中k是迭代次数，a=0，函数为sin。为了使条件变为false，45^(k+1)/(k+1)!次一定要有sin或cos（取决于第k阶导数）的绝对值（在0和1之间）小于0.0001。对于50的值，在这个公式中，这个数字仍然非常大（我们应该期望误差约为1.3*10^18，这意味着我们肯定会进行超过50次迭代）。45^50和50!将溢出，然后将它们除以会得到infinity/infinity=NAN。在您的原始版本中，fact值不适合于整数（您的值溢出为0），然后除以0会给您无穷大，再减去另一个无穷大会给您NAN。

- Abstraction

---

我认为fact溢出了，没错。但是我不明白为什么*运算符对于long double会返回NaN。我认为这是来自pow函数。可能是NaN / UB(未定义行为)。 - Ely

@Elyasin 两者都会变成无穷大，这就是NAN的来源。阶乘增长比幂函数更快。 - Abstraction

原始的 fact 会导致 * 溢出为零，因此 x +y/0 为 nan。如果您修复了 fact ，它将溢出为 inf 并在后面产生 nan。 - JSF

我不确定我是否理解。在程序中，x 从 45 开始，n = 0。45^i 应该比 i! 增长更快，不是吗？ - Ely

@JSF 是的，你说得对，在他的原始版本中（返回整数的事实），除以零会导致inf，然后从另一个inf中减去会导致“NAN”。 - Abstraction

即使您修复了 (pow(x,n)/fact(n)) 的计算，使其永远不会溢出，结果仍然永远不会收敛。 当您在这些数很大时计算其中两个之间的差异时，会产生舍入误差。 这种舍入误差从总和中永远不会被消除，因此答案永远无法接近。 - JSF

Answer 2

如果选择了45，则意味着您认为输入是角度制，您应该重新考虑并可能应该将其缩小模2π。

首先修复两个错误：

    long double fact(long int n)
...
      }while((fabs(next - value))> accuracy);

如果使用long int，则fact的返回值会很快溢出。即使使用long double，fact的返回值最终也会溢出。当你将比较对象从accuracy改为0时，答案永远不够正确，因此只有nan可以停止while循环。

由于舍入误差，你仍然无法收敛（当pow提供的值大于fact时，你正在计算大数之间的差异，这会积累显著的舍入误差，而这些误差永远不会被消除）。因此，你可以在每个循环步骤中增加n之前，先计算long double m=pow(x,n)/fact(n);，然后使用：

}while(m > accuracy*.5);

此时，要么答案已经达到了指定的精度，要么剩余误差被舍入误差所主导，进一步迭代也无济于事。

- JSF

Answer 3

我引用这里关于pow的内容：

返回值

如果没有错误发生，则返回底数base的指数exp（或iexp）（baseexp）。

如果发生域错误，则返回实现定义的值（在支持的情况下为NaN）

如果发生极点错误或由于溢出而导致范围错误，则返回±HUGE_VAL、±HUGE_VALF或±HUGE_VALL。

如果由于下溢而导致范围错误，则返回正确的结果（经过舍入后）。

继续阅读：

错误处理

...

除非上述已指定，否则如果任何参数为NaN，则返回NaN

所以基本上，由于n正在增加并且您有许多循环，pow返回NaN（您使用的编译器显然支持该功能）。其余部分是算术运算。您使用溢出值进行计算。

我相信你正在尝试使用泰勒级数来近似计算sin(x)。我不确定这是否是正确的方法。

也许你可以尝试在循环中一旦遇到NaN就停止，并且不更新变量next，直接输出结果。我认为这是你的算法能够得到的最接近的结果。

- Ely

---

你为什么认为 pow 会溢出，而不是 fact 先溢出呢？ - JSF

fact 不会返回 NaN，是 pow 函数造成的。 - Ely

如果不进行纠正，fact会溢出为0，如果进行纠正，fact会溢出为inf。nan是由于0或inf导致的。 - JSF

无论如何，我明白你的意思。我认为那个程序代码中的 pow 是第一个 NaN 罪犯。实际上这就是我想说的。但你是对的，无论哪种方式都是一个问题... - Ely

当我使用45作为输入进行测试时（即使修复了fact），fact首先溢出。 - JSF

我向你发起挑战，分享你的测试程序。 - Ely

Answer 4

如果您使用了合理级别的警告编译系统，您会立即发现您没有使用变量accuracy。这和您的fact函数返回一个long int只是您问题的一小部分。即使您纠正了这些问题，您也永远不会得到sin(45)的好结果。

问题在于，对于x=45，sin(x)的泰勒展开式中的项直到n=45才开始减少。这是一个大问题，因为45⁴⁵/45!是一个非常大的数字，2428380447472097974305091567498407675884664058685302734375 / 1171023117375434566685446533210657783808，或大约2*10¹⁸。您的算法最初添加和减去巨大的数字，只有在20多次加法/减法之后才开始减少，最终希望结果在-1和+1之间。鉴于输入值为45且使用本机浮点类型，这是一个无法实现的希望。

你可以在算法中使用一些BigNum类型（网络上有很多），但是当你只需要四位精度时，这是极端的过度。或者，你可以利用sin(x)的周期性质，sin(x+2*pi)=sin(x)。输入值45等同于1.017702849742894661522992634...（模2*pi）。对于输入值1.017702849742894661522992634，你的算法效果非常好。

你可以做得比那更好，通过将输入值取模2*pi，这是计算正弦和余弦的合理算法的第一步。更好的是，你可以利用sin(x+pi)=-sin(x)的事实。这使你将范围从负无穷到正无穷缩小到0到pi。甚至更好的是，在0到pi之间，sin(x)关于pi/2对称。你可以做得比这更好。三角函数的实现充分利用了这些行为，但它们通常不使用泰勒逼近。

- David Hammen