为什么在Matlab中复共轭转置是默认的？

Question

如果一个矩阵具有复数元素，我想使用命令>>A'将A转置为A'，为什么设计成a+bi被转换为a-bi？它有什么用处吗？

- Peter Zhu

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这是共轭转置（文档）。请注意，如果您只想交换行和列而不改变数字的虚部符号，可以使用 .' 。 - Dan

那么，为什么将复矩阵A的共轭转置视为共轭复数的扩展是有用的呢？ - Peter Zhu

Answer 1

来自这里：

对于复杂矩阵，取转置和复共轭的组合操作几乎总是出现在物理或计算环境中，而单独进行转置的情况却极少见（Strang 1988，第220-221页）。

在Matlab中，如果要进行转置而不进行共轭，请使用'.。

- Dan

Answer 2

实际上，我认为存在深层次的原因，解释了为什么转置即共轭。考虑一个复数的矩阵表示形式。让

I = (1 0)          J = (0 -1)
    (0 1)              (1  0)

请注意，J的转置（J^T）恰好等于-J。然后我们有以下等价关系（使用j表示虚数单位）：

 x + yj   <--->  xI + yJ
(x + yj)* <--->  xI - yJ = (xI + yJ)^T

因此，共轭复数的转换与其矩阵表示的转置是相同的操作。如果我们有一个由复数组成的nxn矩阵呢？那么我们可以将它表示为一个2nx2n的实数矩阵，其中每个2x2子矩阵的形式为xI + yJ！事实证明，如果这样做，复矩阵的共轭（共轭）转置就等价于实数形式中的普通转置。事实上，我会更进一步地声称（没有证明），在复数上的任何向量或矩阵都具有在实数向量/矩阵中的同构性（后者具有双倍的维度），而复杂版本中的共轭-转置与实数版本中的转置是相同的。

考虑到这一点，我会说，在复数上的矩阵的“普通转置”实际上是一件非常奇怪的事情。毫不奇怪，我们在自然法则中找不到它！

如果您愿意，自然表示法是2nx2n的实数形式。由于历史原因，我们首先使用符号j或i开发了代数形式，并发明了共轭的概念，这实际上只是转置的一种特殊情况。

因此，在复数域上转置矩阵时，Matlab会帮助您完成工作，同时也会为您共轭元素。

如果您想了解更多信息，值得阅读表示论。维基百科是一个好的开始，尽管我认为他们的文章有点技术性：https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory

- David Turner