为什么归一化数值的最高位始终为1？

Question

来自维基百科中的尾数条目：

在二进制中工作时，尾数的特征是其二进制位（比特）宽度。因为对于规范化数字，最高有效位始终为1，所以这一位通常不会被存储，并称为“隐藏位”。根据上下文，隐藏位可能或可能不计入尾数的宽度。例如，相同的IEEE 754双精度格式通常被描述为具有包括隐藏位在内的53位尾数或不包括隐藏位在内的52位尾数。隐藏位的概念仅适用于二进制表示。IEEE 754将精度p定义为尾数中的数字位数，包括任何隐式前导位（例如，双精度格式的精度p为53）。

为什么规范化数字的最高有效位始终为1？能否举个例子解释一下？

- Geek

Answer 1

在二进制中，唯一的数字是0和1，前导零不重要（例如1101与00001101相同，额外的零没有任何意义）。因此，最高有效位必须是1，因为这是唯一的其他可能性。

由于您知道最高有效位必须是1，所以您可以省略它而不会丢失任何信息。这很有用，因为它允许您获得额外的精度位。

例外情况是数字0，但是在浮点数中（以及其他特殊情况，如NaN和+/-无穷大），通过将偏置指数设置为0来处理。

- verdesmarald

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谢谢！解释得很好。 - Zigii Wong

Answer 2

这并非完全正确，对于特殊值如0、NaN、Infinity和非规格化数，没有前导的1。

但是，当数字是“合理”的时候，你可以通过增加指数来重写它，使得尾数以1开始。十进制中也有类似的处理方式，只需确保数字不为零即可始终以一个非零数字开头：

  0.5 = 5.0 E-01
  0.05 = 5.0 E-02
  50 = 5.0 E+01
  500 = 5.0 E+02
  etcetera.

需要明确的是，在二进制中，这个单一数字将被表示为1。因此，它不需要被存储，只需推断即可。这样可以获得额外的一位精度，但会增加浮点处理器逻辑的复杂性，以便在计算中恢复该1。

- Hans Passant

Answer 3

在任何数字表示中，前导零都不包含有用信息，因此不需要存储。在二进制表示中，最左边的有效数字始终为1，因此也不需要存储，可以假定它已经存在。

- High Performance Mark