如何在Matlab中一次性对多个矩阵进行外积操作？

Question

我想计算 y = a⊗a⊗a，其中 a 是一个 n 行 1 列的向量，⊗ 是 外积运算符。在这种情况下，y 应该是一个 n 行 n 列 n 深度的张量。

如果 y = a⊗a，那么很容易。我只需要这样做：

y = a * a' 

但是第一种情况该怎么办呢？如果有两个以上的向量，我该如何在MATLAB中高效地计算这个外积？

- Cem S.

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我不明白你想要计算什么。是 y = a x a x a 吗？如果是，当其中一个操作数是矩阵时，外积如何定义？ - Eitan T

是的，我想计算 y = a x a x a。或者更高阶的，比如 y = a x a x a x a x a。 - Cem S.

Answer 1

在多维（张量）情况下的 y = u⊗v，我认为您需要移动第二个操作数的维度，如下所示：

v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)]));

然后使用bsxfun函数对它们进行乘法运算:

y = bsxfun(@times, u, v_t);

常规矩阵乘法仅适用于向量和二维矩阵，因此我们无法在一般情况下使用它。

还要注意，如果第二个操作数是一维向量，则此计算仍将失败，因为 ndims 返回2而不是1。 为此，让我们定义一个自己的函数来计算维度：

my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));

为了完整回答问题，您可以定义一个新的函数（例如匿名函数），如下所示：

outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)])));

然后你可以随心所欲地使用它。例如，y = a×a×a 可以这样计算：

y = outprod(outprod(a, a), a);

当然，您可以编写一个更好的函数，以接受可变数量的参数，以便节省输入。可以按照以下方式编写该函数：

function y = outprod(u, varargin)
    my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
    y = u;
    for k = 1:numel(varargin)
        v = varargin{k};
        v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)]));
        y = bsxfun(@times, y, v_t);
    end

我希望我的计算没错！

- Eitan T

Answer 2

您可以使用kron函数：

kron(a * a', a)

或者当需要四个外部（Kronecker张量）积时：

kron(kron(a * a', a), a)

等等。最后一个给出了一个 m x n 矩阵，其中 m = n * n * n。

如果希望随着乘积的进行添加维度，则可以使用 reshape 函数：

reshape(kron(a * a', a), [n, n, n])

或者

reshape(kron(kron(a * a', a), a), [n, n, n, n])

等等。最后一个给你一个n x n x n x n张量。

- hamid attar

Answer 3

使用kron，如先前的解决方案所示存在问题，会打乱外积的规范索引。

相反，ndgrid是这种情况下的理想选择：

a = [1; 2; 3];
b = [4; 5];
c = [6; 7; 8; 9];

[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c));

% desired outerproduct
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz);

在纸面上，我们可以确认所需的解决方案 M 是数据立方体：

M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) = 
           |            |            |
24    30   | 28    35   | 32    40   | 36    45
48    60   | 56    70   | 64    80   | 72    90
72    90   | 84   105   | 96   120   | 108   135

使用Kronecker乘积方法

M2 = reshape(kron(a * b', c), [length(a), length(b), length(c)]);

我们将得到：

M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) = 
            |             |             |
24    36    | 64    84    | 30    45    | 80   105
28    48    | 72    96    | 35    60    | 90   120
32    56    | 72   108    | 40    70    | 90   135

Datacube M2 与 M 具有相同的元素，但这些元素被重新排列。这是因为kron(a * b', c)不包含M的切片，以便直接应用reshape函数。要以这种方式计算外积，我们需要对kron(a * b', c)的元素进行一次重新排列操作/函数（可确定，但费时且繁琐）。

使用ndgrid的另一个优点是它很容易推广到更高的阶数。

- rjtjs