以下是一个可在线性时间内解决问题的方法。
min A [1..i-1] > i。Python的快速实现:
def notsurewhattonamethis(A):
assert(A)
S = [0]
for i,v in enumerate(A):
if v<A[S[-1]]:
S.append(i)
best = (-1,-1)
for i,v in reversed(list(enumerate(A))):
while v>A[S[-1]]:
j = S.pop()
d = i - j
if d > best[1]-best[0]:
best = (j,i)
if not S: return best
return best
O(n*log(MaxN))和空间复杂度O(MaxN)的算法，其中MaxN = Max(V[i])。对于这个算法，我们需要一个结构，它可以在1到N之间以时间复杂度O(log(N))获取数组中的最小值，并以时间复杂度O(log(N))更新数组元素。Fenwick tree可以完成这些技巧。让我们把这个结构称为最小化器。然后我们需要做以下几件事情：
好的。我尝试写一些伪代码：
prepare array (map values)
init minimizator
ansI = -1
ansJ = -1
for i from 0 to v.length-1
minIndexOfElementLessThanCurrent = get min value from 1 to v[i]-1 (inclusive) using minimizator
set to minimizator v[i] position value i
if minIndexOfElementLessThanCurrent is exists
if ansJ - ansI < i - minIndexOfElementLessThanCurrent
ansJ = i
ansI = minIndexOfElementLessThanCurrent
class FenwickTree
{
vector<int> t;
int n;
public:
static const int INF = 1000*1000*1000;
void Init (int n)
{
this->n = n;
t.assign (n, INF);
}
int GetMin (int i)
{
int res = INF;
for (; i >= 0; i = (i & (i+1)) - 1)
res = min (res, t[i]);
return res;
}
void Update (int i, int value)
{
for (; i < n; i = (i | (i+1)))
t[i] = min (t[i], value);
}
};
pair<int, int> Solve(const vector<int>& v)
{
int maxElement = 0;
for(int i = 0; i < v.size(); i++)
maxElement = max(maxElement, v[i]);
FenwickTree minimizator;
minimizator.Init(maxElement+1);
int ansI = -1, ansJ = -1;
for(int i = 0; i < v.size(); i++)
{
int minLeftIndex = minimizator.GetMin(v[i]-1);
minimizator.Update(v[i], i);
if(minLeftIndex == FenwickTree::INF) continue; // no left elements less than v[i]
if(ansJ - ansI < i - minLeftIndex)
{
ansJ = i;
ansI = minLeftIndex;
}
}
return make_pair(ansI, ansJ);
}
r 来找到从 1 到 v[i] 的最小值。C++ implementation:
pair<int, int> Solve(const vector<int>& v)
{
int maxElement = 0;
for(int i = 0; i < v.size(); i++)
maxElement = max(maxElement, v[i]);
vector<int> minimum(maxElement + 1, v.size() + 1);
for(int i = 0; i < v.size(); i++)
minimum[v[i]] = min(minimum[v[i]], i); // minimum[i] contains minimum index of element i
for(int i = 1; i < minimum.size(); i++)
minimum[i] = min(minimum[i-1], minimum[i]); // now minimum[i] contains minimum index between elements 1 and i
int ansI = -1, ansJ = -1;
for(int i = 0; i < v.size(); i++)
{
int minLeftIndex = minimum[v[i]-1];
if(minLeftIndex >= i) continue; // no left elements less than v[i]
if(ansJ - ansI < i - minLeftIndex)
{
ansJ = i;
ansI = minLeftIndex;
}
}
return make_pair(ansI, ansJ);
}
Java实现在线性时间内运行。
public class MaxIndexDifference {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(betweenTwoElements(2, 3, 6, 10, 4));
}
private static int betweenTwoElements(int... nums) {
int numberOfElements = nums.length;
int maxDifference = -1, minIndex = 0, maxIndex = 0;
int[] lMin = new int[numberOfElements];
int[] rMax = new int[numberOfElements];
/* Construct lMin such that stores the minimum value (to the left) from (nums[0], nums[1], ... nums[i])*/
lMin[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < numberOfElements; i++) {
lMin[i] = Math.min(nums[i], lMin[i -1]);
}
/* Construct RMax[] such that RMax[j] stores the maximum value (to the right) from (arr[j], arr[j+1], ..arr[n-1]) */
rMax[numberOfElements - 1] = nums[numberOfElements - 1];
for (int i = numberOfElements-2; i >= 0; i--) {
rMax[i] = Math.max(nums[i], rMax[i + 1]);
}
/* Traverse both arrays from left to right to find optimum maxIndex - minIndex This process is similar to merge() of MergeSort */
while (minIndex < numberOfElements && maxIndex < numberOfElements) {
if (lMin[minIndex] < rMax[maxIndex]) {
maxDifference = Math.max(maxDifference, maxIndex - minIndex);
maxIndex = maxIndex +1;
} else {
minIndex = minIndex +1;
}
}
return maxDifference;
}
}
具有O(N)复杂度的算法：
#!/usr/bin/perl
use strict;
use warnings;
sub dump_list { print join(", ", map sprintf("%2d", $_), @_), "\n" }
for (0..20) {
# generate a random list of integers with some convenient bias:
my @l = (map int(rand(20) + 20 - $_), 0..19);
my $max = $l[-1];
my $min = $l[0];
my @max;
for my $l (reverse @l) {
$max = $l if $l > $max;
push @max, $max;
}
@max = reverse @max;
my @min;
for my $l (@l) {
$min = $l if $l < $min;
push @min, $min;
}
my $best_i = 0;
my $best_j = -1;
my $best = -1;
my $j = 0;
for my $i (0..$#l) {
while ($j < @l) {
last unless $max[$j] > $min[$i];
$j++;
if ($j - $i > $best) {
$best = $j - 1 - $i;
$best_i = $i;
$best_j = $j - 1;
}
}
}
print "list: "; dump_list @l;
print "idxs: "; dump_list 0..$#l;
print "best: $best, i: $best_i, j: $best_j\n\n";
}
更新: 回应Nohsib的请求:
假设你有一个随机数列表 (a[0], a[1], a[2], a[3]..., a[N-1])
第一步是找到每个数字左边的最大值 mas max[i] = maximum(a[0], a[1], ..., a[i]) 和右边的最小值 min[i] = minimum(a[i], a[i+1], ..., a[N-1]).
一旦你有了这些数组，找到满足 a[j] < a[k] 且最大化 k-j 的区间就几乎是轻而易举的。
试着用一些随机列表在纸上操作，你很容易就能找到背后的逻辑。
while (i<n & j<n) 一样，并在 $max[$j] > $min[$i] 时增加 j，否则增加 i。目前，使用您的方法，对于像 [1,2,3,4,4,4,4,4,4,4] 这样的列表，仍可能获得 O(n^2) 的时间复杂度。但通过上述建议的更改，您可以将时间复杂度降低到 O(n)。感谢您提出的想法。我会在有时间时尝试编写伪代码。 - Kay$j在for循环内部没有被重置为0，因此在最坏情况下它已经是O(N)了。在最坏情况下，while循环内的代码将执行2*N次，因此它是O(N)。 - salva我不确定你想要什么，你的问题的第一段与第二段相矛盾。因此，我将给出两个答案，一个针对我能想到的每种解释，虽然都可能不是你的意思。
第一种解释：在j > i的约束条件下搜索V [j] - V [i]的最大值。
这本质上是找到最小值和最大值，但除此之外，还有一个索引的限制。这本身并不意味着不能使用这个想法；对于任何选择的V [i]，您只需要在V [i + 1..n]上找到最大值，并且您不需要每次重新计算这些最大值，从而导致以下算法：
第二种解释：在V [j]> V [i]的约束条件下搜索最大的j-i。
我无法想出什么好办法。
j-i的一个好的下限。首先，找到两个连续的升序条目。然后，从数组末尾开始向前查找大于较低条目的条目。接着，从较低条目开始向前查找小于上限条目的条目。 - Neil