SICP 2.16 区间算术（Scheme）

Question

SICP 2.16 区间算术（Scheme）

algorithmschemesicp

13

这不是一个作业问题，我只是对区间算术的理解及练习2.16的含义感到不满意。

第2.14节定义的区间算术并不表现出正常算术的属性。两个等价的操作，(r1*r2)/(r1 + r2) 和 1/(1/r1 + 1/r2)，给出不同的结果。该练习问为什么会这样，并且是否可能构建一个区间算术系统，使得这种情况不再存在。

该节讨论电子元件电阻误差的计算。我不确定在这些术语下，将区间相乘和相除意味着什么。将两个区间相乘的应用是什么？

是否可能构建一个没有这个例子中问题的区间算术系统？

http://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book-Z-H-14.html#%_sec_2.1.4

(define (make-interval a b)
  (cons a b))

(define (make-center-width c w)
  (make-interval (- c w) (+ c w)))

(define (make-center-percent c p)
  (make-center-width c (* c (/ p 100.0))))

(define (lower-bound i)
  (car i))

(define (upper-bound i)
  (cdr i))

(define (center i)
  (/ (+ (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (width i)
  (/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (percent i)
  (* 100.0 (/ (width i) (center i))))

(define (add-interval x y)
  (make-interval (+ (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (+ (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (sub-interval x y)
  (make-interval (- (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (- (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (mul-interval x y)
  (let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p2 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p3 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p4 (* (lower-bound x) (lower-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
                   (max p1 p2 p3 p4))))

(define (div-interval x y)
  (if (= (width y ) 0) 
      (error "division by interval with width 0")
      (mul-interval x
                    (make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))
                                   (/ 1.0 (lower-bound y))))))

(define (parl1 r1 r2)
  (div-interval (mul-interval r1 r2)
                (add-interval r1 r2)))

(define (parl2 r1 r2)
  (let ((one (make-interval 1 1)))
              (div-interval one
                           (add-interval (div-interval one r1)
                                         (div-interval one r2))))

(define (r1 (make-interval 4.0 3.2)))
(define (r2 (make-interval 3.0 7.2)))

(center (parl1 r1 r2))
(width (parl1 r1 r2))
(newline)
(center (parl2 r1 r2))
(width (parl2 r1 r2))

- MVTC

2个回答

3

理解这个问题最简单的方法是看一个非常简单的表达式e = x/x，其中x在[2,3]之间。如果我们使用区间算术，我们得到e在[2/3, 3/2]之间，然而二年级的算术表明e=x/x=1。那么怎么回事呢？

其实很简单：当使用区间算术时，我犯了一个错误，假设x可以同时有两个不同的值。当分子为3，分母为2时，e的最大值给出，但由于两者应始终相同，这是不可能的。

那么，何时可以使用区间算术？当所有区间仅出现一次时，因为此时您不会遇到同一变量在不同区间计算中具有不同值的问题。

是否可能创建一个没有这个问题的算术包？不，因为并非每个函数都可以编写为每个变量仅出现一次的形式。这个问题被称为依赖性问题。

- Gad Labiod

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可以查看英文原文，
原文链接

- alinsoar · Accepted Answer

这是因为区间算术中的操作没有域的算术结构。

正如Sussman所说，这个练习很难--你需要检查域结构的每个操作，并查看哪个不满足要求。

该练习要求我们证明区间算术不是函数范围的算术。

像f（x）= x ^ 2这样在定义域[-1,1]上定义的函数具有范围[0,1]，包含在[-1,1] * [-1,1] = [-1,1]中，通过将符号

 x 替换为符号 x 的域获得。

如果我们定义一个类似的函数，对于每个维度使用不同的变量，例如f(x,y) = x * y，那么当定义域为[-1,1] * [-1,1]时，此函数的范围与区间[-1,1] * [-1,1] = [-1, 1]相同，因为x和y各用了一次。

当函数f（..，x，..）对每个变量x都连续时，每个符号在f的定义中只使用一次，我们发现函数的范围算术与区间算术相同。

在Alice的第一个公式中，平行电阻是通过重复2次变量R1和2次变量R2进行计算的，使用相同的参数该函数的范围包含从函数的公式中获得的对应区间的乘积，将每个名称替换为相应的域间隔，但它并不严格相同。

我们被要求重新编写任何函数，使得重新编写的函数的范围与应用重新编写的函数公式所得到的区间相同，其中名称被替换为等于重新编写函数中相应名称的域的间隔，或者证明对于每个可能的函数，这是不可能的。

这个问题被称为依赖性问题，它是一个很大的问题，其理解超出了SICP的目的，并需要多变量微分方程来解决。
正如Sussman本人所说，这个练习的目的只是展示数据可以用多种方式进行编码。重点不在于数学，而在于数据抽象。