简单正弦函数的近似

Question

我正在寻找一个在x == 0和x == 90或x == pi/2处准确，并且在其他情况下误差不超过5％的正弦近似值。

我没有空间用查找表。

- fadedbee

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标准正弦函数有什么问题？ - John Zwinck

你可以使用泰勒级数来实现你的近似。 - Vittorio Romeo

我们不是编码服务，因此在这里推荐库是不相关的话题。 - too honest for this site

@JohnZwinck 可能是为了快速逼近的 SSE/AVX 实现。 - Kh40tiK

一个带有15个条目和线性插值的小查找表？ - Jabberwocky

Answer 1

您似乎能够使用 巴斯卡拉一世的正弦逼近公式：

float x;
float sinx = 4 * x * (180 - x) / (40500 - x * (180 - x));

误差保持在2%以内。

非常快速且可以手动优化。

- meaning-matters

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“否则，它确实表示误差在5%以内。” - Kh40tiK

@Kh40tiK 我有意读错了，这是更好的答案。 - meaning-matters

在这里，您可以找到一个很好的近似值可视化，包括误差。 - flatronka

@flatronka 非常酷，谢谢。 - meaning-matters

Answer 2

由于 sin 的导数是 cos，而 cos 永远不会超过 1，而 5% 等于 1/20，因此具有 20 * pi / 2 = 32 个点的查找表将满足您的要求。您确定不能抽出 32 字节的 RAM 来存储它吗？

- Dmitry Grigoryev

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我总共有64或1KB的RAM。 - fadedbee

那其中有多少是免费的？ - Dmitry Grigoryev

@meaning-matters 你的回答很棒，但是你的评论并没有为关于我的回答的讨论做出贡献，只是为了自我推广而存在。 - Dmitry Grigoryev

这是为https://hackaday.io/contest/18215-the-1kb-challenge而做的，所以我会尽力将代码大小和数据降到最低。在我能够手动优化生成的ARM汇编时，我会这样做。 - fadedbee

@chrisdew 噢，好的。当我回答这个问题时，我是在务实的心态下，但如果你确实需要节省最后一个字节，你肯定可以打败 LUT。顺便说一下，你可能想在问题中添加你正在考虑的 MCU 型号，因为最佳答案可能会因 MCU 而异。 - Dmitry Grigoryev

@DmitryGrigoryev：更可能是ROM/Flash。 - too honest for this site

Answer 3

我能想到的唯一方法是使用泰勒/麦克劳林展开式。这些形成了一个多项式，表示对函数的越来越好的逼近。

通常，您选择要通过泰勒级数近似的函数值。

例如，在弧度为0附近，sin(x) = x - x^3 / 3! + x^5 / 5！级数是无限的，您包含的术语越多，就越接近真实值。

我建议您可能需要在“方便”的位置（30,60,45,90度）形成几个这些泰勒展开式。然后使用最接近您角度的函数。

- James

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然后使用最接近于您所需角度的函数。- 像查找表一样？;-) - John Zwinck

这样做就不需要存储任何东西。只需定义4个函数并使用 if 来决定调用哪一个。 - James

Answer 4

使用快速线性拟合找到。

1.00003 x - 0.000312267 x^2 - 0.165537 x^3 - 0.00203937 x^4 +  0.010286 x^5 - 0.000961693 x^6

这个最大误差为3%。

- Kh40tiK

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谢谢，但这个与Bhaskara I的正弦逼近相比如何？看起来它需要12次乘法，而Bhaskara的则需要一次除法。 - fadedbee

@chrisdew 当然不是，因为我没有用谷歌搜索 :) - Kh40tiK

@chrisdew 也不需要12个乘法，只需像这样做：a+x*(b+x*(c+x*(...)))。 - Kh40tiK