复杂浮点数类型

Question

我正在为了好玩而实现自己的编程语言，并一直在尝试实现各种浮点数类型。我想考虑实现一种表示复数的数字类型。

i) 我已经阅读了相关资料，我的理解是没有类似于IEEE-754标准（定义实数的标准浮点表示）的符合复数的标准。 这是否正确，或者我错过了什么？

ii) 所有我所知道的编程语言通过存储成对的（单精度或双精度）浮点数来实现复数类型，这些浮点数代表复数 $x + iy$ 的直角坐标形式。是否有人知道有采用其他方法的编程语言呢？

我想考虑实现一种以极坐标形式 $re^{i\theta}$ 表示复数的数字类型，将 $r$ 存储为 无符号 浮点数，将 $\theta$ 存储为 0 到 1 之间的无符号定点数。这可能是非常非标准的事情（但请记住，我只是为了好玩而做编程语言）。据我所知，有非常少的设置使用无符号浮点数，但感觉这是它们的一个适当的用途。我希望将 $\theta$ 存储为定点数，以便在原点周围得到均匀的分布。

是否有人了解这种选择的数值结果方面的工作？例如：在典型的数学工作流程中，复数的加法与乘法相对重要（直角坐标形式更容易进行加法运算，极坐标形式更容易进行乘法运算）？在精度和准确性方面，如何选择极坐标表示会有什么影响？是否有参考资料可以提供给我呢？

NB-请注意，我不关心这些数字类型是否存在任何硬件支持。由于我是出于好玩而做的语言，因此我愿意通过软件实现它们以作为学习练习。

最后，是否有人有关于如何处理复数等效版本的 Inf 的建议呢？

- Sam Roberts

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我猜你的 theta 本质上应该是一个整数，表示“罗盘”方向。例如，使用 4 位整数，您将有 2 ** 4 = 16 种不同的方向。当然，您需要像 64 位这样的东西，而不仅仅是 4 位，但原则是相同的。您的 r 可以是普通的 IEEE 浮点数，您只需忽略符号位即可。关于无穷大的算术问题，请参见例如 黎曼球 § 算术运算。 - Jeppe Stig Nielsen

在笛卡尔坐标系中，拥有像x+Iinf或Inf+Iy这样的数字可能非常有用，其中x和y是有限的。在极坐标表示中，这将是困难的。 - dmuir

@EricPostpischil 我错了。我记得在boost或类似的库中这样做过。在C++中，它是一个模板，因此肯定可以有std::complex<int>。 - phuclv

C99还有一个专门的“虚数”类型，用于表示没有实部的形式为$iy$的数字。但它的一般“复数”类型是通常的笛卡尔表示。 - dan04

Answer 1

需要翻译的内容如下：

需要记住的一件事是，尽管在极坐标表示中进行乘法比在笛卡尔坐标系中快大约2倍，但在极坐标中进行加法比在笛卡尔坐标系中慢得多。在使用编译为-O3的C代码时，我发现在极坐标中进行加法比在笛卡尔坐标系中慢大约250倍。这是因为要进行加法运算，您必须先转换为笛卡尔坐标系，这需要调用sin（）和cos（）两次，然后相加，最后再转换回极坐标，这需要调用hypot（或至少sqrt）和atan2。

至于各种操作的使用频率有多大，很难确定。如果您将执行矩阵和向量运算（复杂矩阵在物理学和电气工程中都很常见），那么我猜加法和乘法的进入大约相等。

- dmuir