“uniquetol”究竟是什么功能？

Question

介绍自 R2015a 起引入的 uniquetol 函数，可计算“容差内唯一元素”。具体来说，

C = uniquetol(A,tol) 使用公差 tol 返回在 A 中唯一的元素。

但是，在给定公差的情况下找到唯一元素的问题有多个解决方案。 那么实际上哪种才是正确的呢？

我们来看两个例子：

1. 令 A = [3 5 7 9]，绝对容差为 2.5。输出可以是 [3 7] 或者 [5 9]。这两种解决方案都符合要求。

2. 对于绝对容差为 2.5 的 A = [1 3 5 7 9]，输出可以是 [1 5 9] 或者 [3 7]。因此，甚至输出中元素的数量也可能会有所不同。

请参见这个讨论，了解困扰问题核心的传递性问题。

那么，uniquetol 是如何工作的？ 它在众多现有解决方案中产生了哪个输出？

- Luis Mendo

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为什么要使用“逆向工程”标签？ - arrowd

@arrowd 因为他对该函数进行了逆向工程。 - Ander Biguri

@arrowd 老实说，我不完全确定它是否适用于这里。但我认为它是适用的，因为描述中提到“反向工程是通过分析其功能和操作来发现人造[...]对象或系统的技术原理的过程”。 - Luis Mendo

Answer 1

为了简化，我考虑使用 uniquetol 的 单输出、双输入 版本。

 C = uniquetol(A, tol);

其中第一个输入是一个double类型的向量A。特别地，这意味着：

• uniquetol的'ByRows'选项未被使用。
• 第一个输入是一个向量。如果不是向量，则uniquetol会隐式地线性化为列，与通常情况下相同。

• 第二个输入，用于定义容差的，被解释如下:

  如果abs(u-v) <= tol*max(abs(A(:)))，则两个值u和v在容差范围内。

  也就是说，默认情况下指定的容差是相对的。在比较中使用的实际容差是通过将最大绝对值在A中进行缩放得到的。

考虑到这些因素，uniquetol使用的方法似乎是：

1. 对 A 进行排序。
2. 选择已排序的 A 的第一个条目，并将其设置为 参考值（稍后需要更新此值）。
3. 将参考值写入输出 C。
4. 跳过已排序的 A 的后续条目，直到找到不在参考值容限内的条目。当找到该条目时，将其作为新的参考值，并返回步骤 3。

当然，我并不是说这就是 uniquetol 的 内部实现。但是 输出 看起来是相同的。因此，这与 uniquetol 所做的是 功能等效的。

以下的代码实现了上述方法（效率低下的代码，仅用于说明问题）。

% Inputs A, tol
% Output C
tol_scaled = tol*max(abs(A(:))); % scale tolerance
C = []; % initiallize output. Will be extended
ref = NaN; % initiallize reference value to NaN. This will immediately cause
           % A(1) to become the new reference
for a = sort(A(:)).';
    if ~(a-ref <= tol_scaled)
        ref = a;
        C(end+1) = ref;
    end
end

为了验证这一点，让我们生成一些随机数据，并比较uniquetol和上述代码的输出结果：

clear
N = 1e3; % number of realizations
S = 1e5; % maximum input size
for n = 1:N;
    % Generate inputs:
    s = randi(S); % input size
    A = (2*rand(1,S)-1) / rand; % random input of length S; positive and 
                                % negative values; random scaling
    tol = .1*rand; % random tolerance (relative). Change value .1 as desired

    % Compute output:
    tol_scaled = tol*max(abs(A(:))); % scale tolerance
    C = []; % initiallize output. Will be extended
    ref = NaN; % initiallize reference value to NaN. This will immediately cause
               % A(1) to become the new reference 
    for a = sort(A(:)).';
        if ~(a-ref <= tol_scaled)
            ref = a;
            C(end+1) = ref;
        end
    end

    % Check if output is equal to that of uniquetol:
    assert(isequal(C, uniquetol(A, tol)))
end

在我所有的测试中，这个程序都没有失败过断言。

因此，uniquetol 似乎会对输入进行排序，选择第一个条目，并且尽可能地跳过其它条目。

对于问题中的两个示例，输出如下所示。请注意，第二个输入被指定为 2.5/9，其中 9 是第一个输入的最大值，以实现绝对容差为 2.5。

>> uniquetol([1 3 5 7 9], 2.5/9)
ans =
     1     5     9
>> uniquetol([3 5 7 9], 2.5/9)
ans =
     3     7

- Luis Mendo

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那么，对于问题中的示例，输出是什么？（+1） - Ander Biguri

@AnderBiguri 好的，我会包含那个。它基本上选择它找到的第一个值，然后跳过值，直到不能再跳为止。所以：uniquetol([3 5 7 9], 2.5/9) 给出 [3 7]；uniquetol([1 3 5 7 9], 2.5/9) 给出 [1 5 9]。请注意所需的 /9，因此 2.5 是_绝对_公差。 - Luis Mendo

有趣！我会输出每组等价值的平均值或中位数，我认为这样更公平。 - Cris Luengo

@CrisLuengo 但是你是否仍然会像uniquetol一样定义_一组等价值_？这种方式似乎存在很大的武断性。(感谢您的投票！) - Luis Mendo

也许迭代过程可以导致更稳定的结果？ - Cris Luengo