如何在无限坐标轴上找到N个点，使得从M个给定的点到其最近的N个点的距离之和最小？

Question

考虑在一条单行道上有N个房子。我有M个路灯杆。假设 M < N。相邻房屋之间的距离不同。路灯杆只能放在房子上。我必须把所有路灯杆都放在房子上，以便每个房子到其最近灯杆的距离之和最小。如何编写此问题的代码？

经过一番研究，我发现需要使用动态规划来解决这个问题。但是我不知道如何处理这个问题。

- K_peanutButter

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存在一个相当简单的迭代算法，可以收敛到局部最小值。但是无法保证这个最小值是全局最小值。您对这种解决方案感兴趣吗？ - Damien

Answer 1

这是一个具有搜索空间为O(n^2 * m)的天真动态规划程序。也许其他人知道另一种加速方法？递归应该从代码中的函数f清晰可见。

JavaScript代码：

// We can calculate these in O(1)
// by using our prefixes (ps) and
// the formula for a subarray, (j, i),
// reaching for a pole at i:
//
// ps[i] - ps[j-1] - (A[i] - A[j-1]) * j
//
// Examples:
// A:  [1,2,5,10]
// ps: [0,1,7,22]
// (2, 3) =>
//   22 - 1 - (10 - 2) * 2
//   = 5
//   = 10-5
// (1, 3) =>
//   22 - 0 - (10 - 1) * 1
//   = 13
//   = 10-5 + 10-2
function sumParts(A, j, i, isAssigned){
  let result = 0
  for (let k=j; k<=i; k++){
    if (isAssigned)
      result += Math.min(A[k] - A[j], A[i] - A[k])
    else
      result += A[k] - A[j]
  }
  return result
}

function f(A, ps, i, m, isAssigned){
  if (m == 1 && isAssigned)
    return ps[i]
    
  const start = m - (isAssigned ? 2 : 1)
  const _m = m - (isAssigned ? 1 : 0)
  let result = Infinity
    
  for (let j=start; j<i; j++)
    result = Math.min(
      result,
      sumParts(A, j, i, isAssigned)
        + f(A, ps, j, _m, true)
    )
  
  return result
}

var A = [1, 2, 5, 10]
var m = 2

var ps = [0]
for (let i=1; i<A.length; i++)
  ps[i] = ps[i-1] + (A[i] - A[i-1]) * i

var result = Math.min(
  f(A, ps, A.length - 1, m, true),
  f(A, ps, A.length - 1, m, false))

console.log(`A:  ${ JSON.stringify(A) }`)
console.log(`ps: ${ JSON.stringify(ps) }`)
console.log(`m:  ${ m }`)
console.log(`Result: ${ result }`)

- גלעד ברקן

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这段代码是可以工作的，但你能解释一下这里发生了什么吗？ps[]数组的重要性是什么？ - K_peanutButter

@KamalPancholi ps变量是一种特殊的前缀和，它显示了从索引0到i元素的所有距离之和。在这段代码中，它仅用于if (m == 1 && isAssigned)以返回从开头到i的所有距离之和，但我在注释中解释了如何将sumParts循环转换为一个公式，用于具有右侧极点的子数组的所有距离之和（当极点在左侧时，我们需要第二个反转的ps）。 - גלעד ברקן

如果i被分配了，我们需要使用二分查找或预先计算的表来找到点p，将子数组分成从p到i的距离和从p-1到j的距离，因为每个房子都与更靠近它的电线杆相关。@KamalPancholi - גלעד ברקן

Answer 2

我来帮你了解。首先，我会写下动态规划算法的解释，如果你无法编码，告诉我。

A -> 包含点的数组，使得A [i] - A [i-1]将是A [i]和A [i-1]之间的距离。 A [0]是第一个点。当您进行自顶向下的记忆化时，您将不得不处理以下情况：您想在当前房屋放置灯杆还是想将其放置在较低的索引处。如果现在放置它，您将使用一个更少的灯杆可用进行递归，并计算与前面房屋的距离之和。当您没有剩余任何灯杆或完成所有房屋时，您处理基本情况。

- Parijat Bhatt

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如果您没有提供伪代码或正则代码，请至少将递归关系形式化。所谓“形式化”，就是编写一个数学公式，表达递归关系的一般情况。目前这个答案并不清楚。 - גלעד ברקן