证明存在一个O(n)的算法可以完成10次交换。

Question

一个著名的问题是找到对于排序数组最小化交换次数。但我的问题是，给定一个大小为n的数组，并且我们知道可以通过10次交换将其排序（我们不知道具体的交换操作，只知道次数），我想证明存在一种O(n)算法（耗时）来对这个数组进行排序。

首先，为了证明这个命题，我需要展示一些代码吗？我不知道如何证明它。 其次，这与对于排序数组最小化交换次数有关吗？

感谢您的帮助。

- FrastoFresto

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O(n) 是指什么？你的前提已经说明存在一种可以在10次交换中对数组进行排序的算法。我猜这个算法在比较次数上是O(n)的，但是有内存限制吗？ - trent

@trentcl O(n) 是关于时间复杂度的。我忘了提到这一点。没有内存限制。 - FrastoFresto

提示：Timsort可以解决这个问题。 - David Eisenstat

Answer 1

你的解决方案在自适应排序算法中。

一个经典的自适应排序算法是直接插入排序。在这个排序算法中，我们从左到右扫描输入，重复找到当前项的位置，并将其插入到先前排序好的项的数组中。

我们知道：

该算法的性能可以用输入中的逆序对数量来描述，然后T(n)将大致等于I(A)+(n-1)，其中I(A)是逆序对的数量。

因此，像您的情况一样，逆序对的数量是恒定的，该算法的复杂度将为Theta(n)。

- OmG

Answer 2

如果我们知道排序一个数组需要10次交换，那么最多有10 * 2 = 20个元素是无序的。因此，如果我们找到某些在近乎有序的数组上具有O(n)复杂度的排序算法，则足以证明您的说法。

例如，我们可以使用两步解决方案：

1. 找到数组中所有无序元素，移除并保存它们。 2. 在结果数组中插入保存的元素，并将其放置在正确的位置。

对于这种“朴素”的算法，第一步只需要一遍操作，第二步在最坏情况下需要20次或更少的操作（最多有20个无序元素）。因此，如果 n >> 10，那么在您的情况下，它将达到O(n)。如果不依赖于 n，则此证明对于任何交换次数都是正确的。

- Alexander Ushakov

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你会如何定义“乱序”元素，并提出什么O(n)算法来检测这些元素？ - Mark Dickinson

@MarkDickinson “out of order”元素可以在数组元素序列中找到，该序列未按所需顺序排序。当我们遇到新的元素小于先前的元素时，我们知道这个或先前的元素是无序的。可能还有其他一些附近的元素。只要不超过20个这样的元素，就不难向后和向前检查以找到这种错误序列的边界。即使我们取多几个元素（例如每个出现的20个邻居），它也不会改变O复杂度。 - Alexander Ushakov