在三维空间中，射线与正方形/矩形的相交问题

Question

嗨，您正在制作一款游戏，并且正在寻找在3D空间中仅针对正方形或矩形的光线相交。已经在网上搜索了许多解决方案，但是没有一种我能够理解的方法。我有一个2D的直线和线段相交脚本，但我无法弄清楚如何将其转换为3D。

重要的是它与正方形或矩形的哪一侧相交并不重要，但必须能够检索交点向量，以便稍后可以测试距离，以查看它是否发生在同一光线交点之前或之后。

非常感谢任何使用Python或其他类似脚本语言的示例。

编辑：不知道如何修改2D以显示示例，但已经创建了一个新的并发布了两个版本。

//this is the exaple it test a ray onto a plane then look to se if that point is in the rectangle and saves it to test for distanse later
list Faces; //triangle faces
list Points; //

vector FindPoint(){
    //calcute the point of intersection onto the plane and returns it
    //if it can intersect
    //else return ZERO_VECTOR
}

integer point-in-quadrilateral(){
    //return 1 if the point is in the rectangular on the plane
    //else return 0
}

default{

    state_entry(){
        integer n = (Faces != []); //return number of elements
        integer x = 0;
        while(x < n){
            vector intersection = FindPoint( FromList(Faces, x) ); //take     out a element and runs it trough the function
            if(intersection != ZERO_VECTOR){
                integer test = point-in-quadrilateral( FromList(Faces,     x) ); //find out if the point is in rectangular
                if(test == 1){ //if so
                    Points += intersection; //save the point
                }
            }
            ++x;
        }

        float first; //the distanse to the box intersection
        integer l = (Points != []);
        integer d;
        while(d < l){
            if(Dist( FromList(Points, d) ) < first) //if the new distanse     is less then first
                return 0; //then end script
            ++d;
        }
    }

}


//this is the 2D version
vector lineIntersection(vector one, vector two, vector three, vector four){
float bx = two.x - one.x;
float by = two.y - one.y;
float dx = four.x - three.x;
float dy = four.y - three.y; 
float b_dot_d_perp = bx*dy - by*dx;
if(b_dot_d_perp == 0.0) {
    return ZERO_VECTOR;
}
float cx = three.x-one.x; 
float cy = three.y-one.y;
float t = (cx*dy - cy*dx) / b_dot_d_perp; 
if(LineSeg){ //if true tests for line segment
    if((t < 0.0) || (t > 1.0)){
        return ZERO_VECTOR;
    }
    float u = (cx * by - cy * bx) / b_dot_d_perp;
    if((u < 0.0) || (u > 1.0)) {
        return ZERO_VECTOR;
    }
}

return <one.x+t*bx, one.y+t*by, 0.0>; 

}

- TeaWave

Answer 1

解决方案很简单，当您使用一个点（=向量）和一个方向向量定义射线，以及使用一个点（=向量）和代表两个边的两个向量来定义矩形时。假设射线被定义为 R0 + t * D，其中R0是射线的起点，D是表示其方向的单位向量，t是其长度。 矩形可以用一个角点 P0 和两个向量 S1 和 S2 来表示，这些向量应表示它们的边（其长度等于边的长度）。你还需要另一个向量 N，它垂直于它的表面，并等于S1和S2的叉积沿着其单位向量。

现在，假设射线与矩形相交于 P。那么，射线的方向 D 必须与法向量 N 成非零角度。这可以通过检查 D·N < 0 来验证。

要找到交点，请假设 P = R0 + a * D（该点必须在射线上）。现在需要找到 a 的值。找出向量 P0P。这必须垂直于 N，这意味着 P0P·N = 0，这将缩小为 a = ((P0 - R0)·N) / (D·N)。

现在您需要检查点是否在矩形内。为此，请沿着 S1 取 P0P 的投影 Q1，以及沿着 S2 取 P0P 的投影 Q2。点在内部的条件是 0 <= |Q1| <= |S1| 和 0 <= |Q2| <= |S2|。

该方法适用于任何类型的平行四边形，不仅适用于矩形。[更新：在平行四边形的情况下（包括矩形），应沿另一侧取得其投影，而不仅仅是垂直线（引用最后一段中的“沿着 S1 取 Q1 投影，以及沿着 S2 取 Q2 投影”）。这就像使用一个坐标系，其中轴不相互垂直。]

- Sufian Latif

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感谢您的好文章。您的文章帮助我们确定问题并解决了它。 - TeaWave

太棒了，谢谢！ - Mikaelblomkvistsson

提到的绘图，使用 P0 替代 P：http://imgur.com/a/Dt6ZvIV - Smartskaft2

你从 P0P.N = 0 跳跃到了 a = ((P0 - R).N) / (D.N)，能否详细说明一下？ - Post169

还有一件事。如果 a < 0，则没有交点。 - 김선달

Answer 2

创建R3中一条直线的向量方程，然后解出该直线与要测试的矩形所在平面的交点。之后，测试该解点是否在边界范围内即可。

解的参数t可以通过以下公式得到：

t = (a * (x0 - rx) + b * (y0 - ry) + c * (x0 - rz)) / (a * vx + b * vy + c * vz)

场所：

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

这是你的矩形所在平面的方程。

以及：

<x, y, z> = <rx + vx * t, ry + vy * t, rz + vz * t>

这是所讨论的直线的向量方程。

请注意:

<rx, ry, rz>

是向量方程的初始点，而

<vx, vy, vz>

上述方程的方向向量为。

之后，将参数 t 带入您的向量方程中，即可得到要测试距离的点。

- Joel Cornett

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谢谢您的回复。您能解释一下其中的一些部分吗？"x0 y0 z0"是将其等化器，使第二个方程等于零吗？如果是这样，如何计算它们每个的值？ - TeaWave

基本上是这样。x0，y0和z0是某个点（可以是任何点），它位于与您的矩形相同平面上。至于方程中的x、y和z，您应该插入上面列出的线性方程（r_ + v_ * t）的值。您能否更具体地说明您计划如何编写代码？也许您可以提供一个您已经解决的2D版本的示例？这样我可能会更好地解释。 - Joel Cornett

已经编辑了主贴以提供示例和2D版本。我们进行了更多的发现，并且想知道a、b和c是否是平面的单位向量？x0、y0和z0是否是线性方程？我们运行了多个组合，但无法使其等于零。 - TeaWave

我编辑了帖子并加入了一张图片以便澄清。无论如何，我给出的第二个方程并不重要。你真正想做的是把数值代入第一个方程中得到参数“t”。然后，你会把“t”代入线（也就是你正在追踪的光线——顺便说一下，那是第三个方程）的向量方程中。 - Joel Cornett

感谢您一直以来的好帮助。现在我已经弄清楚了：） - TeaWave

Answer 3

你没有说明在三维空间中的正方形/矩形是否与坐标轴对齐。

假设三维矩形R在空间中是任意定向的，这里提供一种方法。

首先，将你的射线r与包含R的平面相交。这可以通过要求一个比例因子s来实现，将其乘以r并将其放置在R的平面上，并解决s。这给你一个点p在平面上。现在将平面和R和p投影到其中一个坐标平面{xy，yz，zx}上。你只需要避免垂直于平面法向量的投影，这总是可能的。然后在投影平面中解决点-四边形问题。

开始之前，请检查你的线段是否位于R的三维平面内，如果是，请单独处理。

- Joseph O'Rourke

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感谢您的回复。在三维空间中，正方形和矩形可以以任意角度进行旋转。所以如果我理解正确的话，您在文中写到的“首先将射线r与包含R的平面相交。这可以通过要求一个比例因子s来将r乘以它，并放置在R的平面上，并解出s的值”是Joel Carnett提供的解决方案，然后我使用从那里得到的交点向量，并与四边形内的点进行判断，以确定其是否在边界内。 - TeaWave

是的，你理解了。我似乎回答得太高深了，但 Joel 本质上是在用方程式表达我用文学语言描述的内容。 - Joseph O'Rourke