计算存储十进制数所需的位数

Question

考虑无符号整数表示。为了存储一个包含以下数字的十进制数，需要多少位：

i) 3 digits ii) 4 digits iii) 6 digits iv) n digits

我知道无符号整数的范围是0到2^n，但我不明白表示一个数字所需位数如何取决于它。

- user379888

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实际上，无符号整数的范围是0到2^n-1，其中n为位数。 - rghome

@rghome 这个属性有名字吗？我觉得它很棒。 - Marwan

@Marwan，我不太确定你指的是哪个属性，但也许“指数”是你要找的词。 - rghome

我正在谈论的是“无符号整数的范围是n位时0到2^n - 1”。这里需要的比特数是log_2，这只是巧合吗？ - Marwan

也许我有点疯狂，算了吧。 - Marwan

Answer 1

你只需要为每种情况计算范围，然后找到最低的大于该范围的2的幂。

例如，在 i) 中，3个十进制数字 -> 10^3 = 1000 可能的数字，因此您必须找到最低的大于1000的2的幂，这种情况下是2^10 = 1024 (10位)。

编辑: 基本上，您需要找到具有与十进制中相同数量可能性的数字位数（在此情况下为二进制）。

要根据数字位数计算可能性：possibilities=base^ndigits

因此，如果您在十进制（基数10）中有3位数字，则有10^3=1000个可能性。然后您必须找到二进制（位数，基数2）的数字位数，以使可能性至少为1000，这种情况下是2^10=1024（9位不足，因为2^9=512小于1000）。

如果您将其推广，就会得到： 2^nbits=possibilities <=> nbits=log2(possibilities)

应用于i)： log2(1000)=9.97，由于位数必须是整数，因此必须将其向上取整到10。

- guardianpt

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取决于你所在的地区，在葡萄牙我们使用“，”作为小数分隔符。无论如何，在我的回答中我将其改为“.”。 - guardianpt

我认为正确的公式是 floor(log2(n)) + 1，否则例如对于1024的结果将为10，这是错误的。 维基百科链接 - ubik

@ubik 实际上，10位二进制数足以表示1024个数字（从0到1023）。当然，如果您想知道表示特定数字所需的位数，则该公式是正确的。 - guardianpt

@guardianpt，你是对的。请忽略我的评论，我误解了问题。 - ubik

@ubik：你的公式适用于有符号数。 - Nagendra Nigade

Answer 2

存储n个整数所需的二进制位数的公式（例如，0到n-1）是：

log_e(n) / log_e(2)

并向上取整。

例如，对于值-128到127（有符号字节）或0到255（无符号字节），整数的数量为256，因此n为256，从上述公式中得到8。

对于0到n，在上述公式中使用n + 1（共有n + 1个整数）。

在计算器上，log_e可能只标记为log或ln（自然对数）。

- rghome

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谢谢您提供简单的公式，而不是冗长的解释。这样更加实用和简明扼要。 - ICW

如果我没错的话，_log₂(n)_ 应该可以很好地工作。 - Danii

如果你的计算器上有一个以2为底的对数按钮，那么答案是肯定的。 - rghome

@Isaac 人类需要解释，而机器不需要推理。 - Eduardo Sebastian

Answer 3

在基数为 b 的情况下，n 位数能够表示的最大数字是 bⁿ-1。因此，在 N 个二进制位中能够表示的最大数字是 2^N-1。我们需要找到满足以下条件的最小整数 N：

2^N-1 ≥ bⁿ-1
⇒ 2^N ≥ bⁿ

对于上述最后一个式子两边同时取以 2 为底的对数，得到：

log₂ 2^N ≥ log₂ bⁿ
⇒ N ≥ log₂ bⁿ
⇒ N ≥ log bⁿ / log 2

由于我们想要找到满足上述关系的最小整数 N，因此需要求出 log bⁿ / log 2 并向上取整即可得到 N。

在上述式子中，对数的底数可以是任意值，只要两个底数相同即可。由于我们此处关心的是 b = 10 的情况，因此可以使用以 10 为底的对数，利用 log₁₀10ⁿ == n 这个等式。

当 n = 3 时：

N = ⌈3 / log₁₀ 2⌉ = 10

当 n = 4 时：

N = ⌈4 / log₁₀ 2⌉ = 14

当 n = 6 时：

N = ⌈6 / log₁₀ 2⌉ = 20

通常来说，对于n个十进制位数：

N = ⌈n / log₁₀ 2⌉

- ad absurdum

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这是一个很好的答案。我建议指出log(10^n) == n，这样读者就可以避免计算大的中间数字。 - wally

@wally -- 你的发现很好。我没有考虑到这些对数函数具有任何特定的底数，因为它们是在比率中，并且在推导中b不一定是10。在这里选择基数10的方便性只是逃脱了我的注意力。请注意，log有时表示log<sub>e</sub>或ln；我尤其注意到这一点在旧的数学参考文献中。 - ad absurdum

多好的解释。谢谢你。你的回答让我意识到我的书里的解释有多糟糕。 - Peter Chaula

@peter -- 谢谢。我在几年前回答这个问题时，它已经很老了；很高兴知道有人仍然觉得它有用 ;) - ad absurdum

这适用于任何基数 $q$ 转换为基数 $p$。 - Eduardo Sebastian

Answer 4

如何确定表示数字所需的位数的技巧是这样做的。您有R个符号用于表示，并且想知道需要多少位，解决此方程式 R=2^n 或 log2(R)=n。其中n是比特数，R是表示中的符号数。

对于十进制数字系统，R=9，因此我们解决9=2^n，答案是每个十进制数字需要3.17位比特。因此，一个三位数需要9.51位或10位。一个1000位数字需要3170位。

- jk3

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对于十进制系统而言，R=10。你需要20位来表示6位数字，而不是19位，即每个数字需要3.32位。 - stark

Answer 5

假设问题是询问存储3位数所需的最小位数，

我的解决方法如下：

1.需要存储的最大3位数是多少？答案：999

2.我需要存储这个数字的最小位数是多少？

可以通过反复将999除以2来解决此问题。然而，使用数学的力量来帮助我们更简单。本质上，我们正在解决以下方程式的n：

此问题可通过以下方式解决：

2^n = 999
nlog2 = log999
n ~ 10

你需要10个二进制位来存储一个三位数。用类似的方法来解决其他子问题！希望这能帮到你！

- Arial

Answer 6

简短的答案是：

int nBits = ceil(log2(N));

这是因为pow(2, nBits)略大于N。

- Alex Tuduran

Answer 7

对于一个n位二进制数，它所能表示的最大十进制值为

2^n - 1，而2^n是使用这么多位数字可以生成的总排列数。

以只想要三个数字的情况为例，即您的情况1。我们看到要求是：

2^n - 1 >= 999

对两边应用对数：

log(2^n - 1) >= log(999)

log(2^n) - log(1) >= log(999)

n = 9.964（约）。

由于9.964不能是有效的数字位数，因此取n的ceil值，我们得到n = 10。

- Prathik Rajendran M

Answer 8

将数字不断除以2，直到得到商为0。

- Arun

Answer 9

最简单的答案是将所需值转换为二进制，并查看该值需要多少位。然而，问题要求X位十进制数需要多少位。在这种情况下，似乎必须选择具有X位的最高值，然后将该数字转换为二进制。

作为一个基本示例，假设我们想存储一个1位十进制数，并想知道需要多少位。最大的1位十进制数是9，因此我们需要将其转换为二进制。这产生了1001，共有4位。这个例子也适用于两位数（最大值为99，转换为1100011）。要解决n位数，您可能需要解决其他问题并寻找模式。

要将值转换为二进制，您需要重复除以2，直到获得商为0（所有余数都为0或1）。然后，您需要颠倒余数的顺序以获取二进制数。

例如：将13转换为二进制。

• 13/2 = 6 余 1
• 6/2 = 3 余 0
• 3/2 = 1 余 1
• 1/2 = 0 余 1
• = 1101 ((8*1) + (4*1) + (2*0) + (1*1))

希望这能帮到你。

- Cooper

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它适用于前两个问题，但当你来到下面两个问题时，它们足够大，需要用你的方法来解决。 - user379888

Answer 10

这个可以工作！

floor(loge(n) / loge(2)) + 1

为了包含负数，您可以添加一个额外的位来指定符号。

floor(loge(abs(n)) / loge(2)) + 2

- Thiagesh thg