在R语言中找到S形曲线上的一个点

Question

以下是一组数据:

df <- data.frame('y' = c(81,67,54,49,41,25), 'x' =c(-50,-30,-10,10,30,50))

到目前为止，我知道如何拟合一个S形曲线并在屏幕上显示它：

plot(df$y ~ df$x)
fit <- nls(y ~ SSlogis(x, Asym, xmid, scal), data = df)
summary(fit)
lines(seq(-100, 100, length.out = 100),predict(fit, newdata = data.frame(x = seq(-100,100, length.out = 100))))

我现在想要找到S型曲线上y=50的点。我该怎么做？

- B C

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我现在想找到S型曲线上当y=50时的点。也许我误解了，但xmid估计不就是给出这个值吗？这是S型响应达到最大值50%的x值。 - Maurits Evers

我可能漏掉了什么，但是 xmid = -38.10，如果我在 y = 50 时目测 x 值，它看起来大约为 +5。 - B C

@MauritsEvers - 很好的观点。但是，y = 50，并不等同于Asym的50％。因为Asym的拟合值很可能并不完全是100。 - dww

@dww 哦，我明白了。我曾假定响应被标准化了。 - Maurits Evers

Answer 1

SSlogis拟合的函数在函数的帮助文档中给出，如下：

Asym/(1+exp((xmid-input)/scal))

为了简化表示法，让我们将 input 更改为 x，并将此函数设置为 y（即您代码中的 fit）：

y = Asym/(1+exp((xmid - x)/scal))

我们需要反转这个函数，将 x 独立在左侧，以便我们可以从 y 计算出 x。完成这个任务所需的代数运算在本答案的末尾给出。

首先，让我们绘制您的原始拟合图：

plot(df$y ~ df$x, xlim=c(-100,100), ylim=c(0,120))
fit <- nls(y ~ SSlogis(x, Asym, xmid, scal), data = df)
lines(seq(-100, 100, length.out = 100),predict(fit, newdata = data.frame(x = seq(-100,100, length.out = 100))))

现在，我们将创建一个函数来计算从y值得到的x值。再次查看下面的代数式以生成此函数。

# y is vector of y-values for which we want the x-values
# p is the vector of 3 parameters (coefficients) from the model fit
x.from.y = function(y, p) {
  -(log(p[1]/y - 1) * p[3] - p[2])
}

# Run the function
y.vec = c(25,50,75)
setNames(x.from.y(y.vec, coef(fit)), y.vec)

        25         50         75 
 61.115060   2.903734 -41.628799

# Add points to the plot to show we've calculated them correctly
points(x.from.y(y.vec, coef(fit)), y.vec, col="red", pch=16, cex=2)

通过代数运算使得 x 单独出现在左侧。请注意，在下面的代码中，p[1]=Asym，p[2]=xmid，p[3]=scal（由SSlogis计算的三个参数）。

# Function fit by SSlogis
y = p[1] / (1 + exp((p[2] - x)/p[3]))

1 + exp((p[2] - x)/p[3]) = p[1]/y

exp((p[2] - x)/p[3]) = p[1]/y - 1

log(exp((p[2] - x)/p[3])) = log(p[1]/y - 1)

(p[2] - x)/p[3] = log(p[1]/y - 1)

x = -(log(p[1]/y - 1) * p[3] - p[2])

- eipi10

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表现完美，解释也非常好。感谢您的帮助。 - B C

因为回答的卓越和清晰，我点了赞。 - James Phillips