仅使用等式约束的CVXOPT

Question

我正在尝试使用CVXOPT进行以下内容作为学习练习。我对这里的示例代码进行了微小修改，删除了不等式约束并添加了几个等式约束。

from cvxopt import solvers, blas, matrix, spmatrix, spdiag, log, div
solvers.options['show_progress'] = False
import numpy as np    
np.random.seed(1)

# minimize     p'*log(p)
# subject to
#              sum(p) = 1
#              sum(p'*a) = target1
#              sum(p'*max(a-K,a^2)) = target2

a = np.random.randint(20, 30, size=500)
target1 = 30
target2 = 0.60
K = 26

A = matrix(np.vstack([np.ones(500), a, np.array([max(x-K,x*x) for x in a])]))
b = matrix([1.0, target1, target2])

n = 500
def F(x=None, z=None):
   if x is None: return 0, matrix(1.0, (n,1))
   if min(x) <= 0: return None
   f = x.T*log(x)
   grad = 1.0 + log(x)
   if z is None: return f, grad.T
   H = spdiag(z[0] * x**-1)
   return f, grad.T, H
sol = solvers.cp(F, A=A, b=b)
p = sol['x']

但是，当我执行以下操作时：

np.sum(p)
243.52686763225338

这违反了最优化的第一个约束条件。我无法确定出现了什么问题。(请注意，由于我正在使用随机数字生成变量a，因此您的np.sum(p)将产生不同的值，但是您应该观察到与我相同的违规行为。)

即使我保留原始链接中的不等式约束并添加两个额外的等式约束，等式约束也会被违反。

是否有其他可靠的软件包可供使用，即是否有维护的软件包？

编辑： 如果没有可行解决方案，难道不应该有“未找到可行解决方案”的消息吗？

- Zanam

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问题是由于两个额外的等式约束条件而不可行。检查解决方案，您会发现它具有未知状态并且不可行。 - tihom

Answer 1

正如@tihom所评论的，这个问题是不可行的。你确定这就是你想要解决的问题吗？你的第一个限制条件意味着：

p1 + p2 + ... + pn = 1
p1*a1 + p2*a2 + ... + an*pn = 30
p1*a1^2 + p2*a2^2 + ... pn*an^2 = 0.6

最后一个约束条件与第一个或第二个约束条件永远不能同时满足，因为对于所有的i，ai >= 20。也就是说，总和p1*a1^2 + p2*a2^2 + ... pn*an^2始终大于其他总和（注意pi > 0）。

如果你让target1 = sum(a/500.)，并且target2 = sum(a*a/500.)，那么就存在一个满足你约束条件的点，并且你可以找到最优解。

请注意，在最后一个约束条件中，最大值简化为max(a - K, a^2) = a^2，这是不管a的真实情况都成立的。

编辑：如果你检查解决方案（例如print sol），你会得到类似以下的内容：

{'status': 'unknown', 'zl': <0x1 matrix, tc='d'>, 'dual slack': 1.0000000000000007, 'relative gap': 0.005911420508296136, 'dual objective': -97.17320604198335, 'snl': <0x1 matrix, tc='d'>, 'gap': 0.9737154924375709, 'primal objective': -164.7176835197311, 'primal slack': 0.9737154924375703, 'znl': <0x1 matrix, tc='d'>, 'primal infeasibility': 0.5114570271204905, 'dual infeasibility': 0.5091221046374248, 'sl': <0x1 matrix, tc='d'>, 'y': <3x1 matrix, tc='d'>, 'x': <500x1 matrix, tc='d'>}

注意，status为'unknown'，即未找到可行解。这在cvxopt.solvers.cp的文档中有说明：http://cvxopt.org/userguide/solvers.html?highlight=cp#cvxopt.solvers.cp。

- YellowBird