当x趋近于无穷大时，哪个f(x)使得g(f(x))的阶数最小？

Question

假设当x趋向于正无穷时，f(x)也趋向于正无穷且a、b>0。找到使得该式阶数最低的f(x)。

当x趋向于无穷大时。 这里的“order”是指大O和小o符号。

我只能粗略地解决它：

我的解决方案：当x趋向于无穷大时，我们可以说ln(1+f(x))近似等于ln(f(x))。然后，我必须将其最小化。

对于任意c>0，当y=sqrt(c)时，y+c/y的值最小，因此b+ln f(x)=sqrt(ax)是答案。同样地，f(x)=e^(sqrt(ax)-b)，g(x)的最低阶为2 sqrt(ax)。

你能帮我得到一个严谨的答案吗？

- Sus20200

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@litelite 根据需要编辑了文本。 - Sus20200

Answer 1

最小化（应该说是 极小化）另一个函数的函数的严谨方法是使用 欧拉-拉格朗日方程：

因此：

泰勒展开式：

如果我们只考虑“常数”项：

这当然是你得到的结果。

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接下来，是一次项：

我们无法通过解析方法解决这个方程；但我们可以探究对函数 f(x) 的扰动效应（即对之前解的参数进行微小的改变）。我们显然可以忽略任何线性变化，但我们可以添加一个正的乘法因子A：

"sqrt(ax)和Af显然都是正数，因此右手边有一个负号。这意味着ln(A) < 0，因此A < 1，即新的扰动函数给出了（稍微）更紧的界限。由于右手边必须消失得非常小（1/f），因此A不应该比1小太多。

进一步地，我们可以在f的指数上添加另一个扰动B：

"

由于 ln(A) 和 RHS 都非常小，为了保持符号一致性，LHS 上的 B 项必须更小。

因此，我们可以得出结论：(1) A 非常接近1，(2) B 远小于1，也就是说，你得到的结果实际上是一个非常好的上界。

以上还可以导致对 f 的更高次幂得到更紧密的界限的可能性。

- meowgoesthedog

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谢谢您。 - Sus20200