时间复杂度 - 大O表示法

Question

时间复杂度 - 大O表示法

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我试图解决以下算法的时间复杂度：

s = 0;
i = 1;
while (s < n) {
  s = s + i;
  i = i + 1;
}

然而，我在确定对数的底数在while循环中的幂时遇到了麻烦。

我知道当 n=5 时它将迭代3次，当 n=50 时它将迭代10次，但如何确定大O符号呢？

- Sean

您正在添加1+2+3+4+5+...，即x(x+1)/2。所以如果n>x(x+1)/2，那么由于二次方程式x=sqrt(2n)。因此时间复杂度为O(sqrt(n))。 - Jerry Jeremiah

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- rbm · Accepted Answer

时间复杂度为O(Sqrt(2n))。

假设s=s+i和i=i+1每次执行需要一个单位时间，那么问题是：给定n，i的值是多少（即while循环的次数）？

让我们看一下每次迭代时s的值：

iteration value of s
1         s+1
2         s+1+2
3         s+1+2+3
4         s+1+2+3+4

很明显，在i次迭代后，s的值是1..i的和，即i*(i+1)/2。

由于s<=n，因此i*(i+1)/2<=n，所以i~Sqrt(2n)。

编辑

以下是一个简单的C#代码来验证上述内容：

int iterate(int n)
{
    int s = 0;
    int i = 1;
    while (s < n)
    {
        s = s + i;
        i = i + 1;
        Console.WriteLine("s: {0}, i: {1} (Sqrt(2s): {2})",s,i,Math.Ceiling(Math.Sqrt(2*s)));
    }
    return i;
}

void Main()
{
    iterate(1000);
}

产生以下表格（注意数字 i 和我们的 Sqrt(2s) 相匹配）：

s: 1, i: 2 (Sqrt(2s): 2)
s: 3, i: 3 (Sqrt(2s): 3)
s: 6, i: 4 (Sqrt(2s): 4)
s: 10, i: 5 (Sqrt(2s): 5)
s: 15, i: 6 (Sqrt(2s): 6)
s: 21, i: 7 (Sqrt(2s): 7)
s: 28, i: 8 (Sqrt(2s): 8)
s: 36, i: 9 (Sqrt(2s): 9)
s: 45, i: 10 (Sqrt(2s): 10)
s: 55, i: 11 (Sqrt(2s): 11)
s: 66, i: 12 (Sqrt(2s): 12)
s: 78, i: 13 (Sqrt(2s): 13)
s: 91, i: 14 (Sqrt(2s): 14)
s: 105, i: 15 (Sqrt(2s): 15)
s: 120, i: 16 (Sqrt(2s): 16)
s: 136, i: 17 (Sqrt(2s): 17)
s: 153, i: 18 (Sqrt(2s): 18)
s: 171, i: 19 (Sqrt(2s): 19)
s: 190, i: 20 (Sqrt(2s): 20)
s: 210, i: 21 (Sqrt(2s): 21)
s: 231, i: 22 (Sqrt(2s): 22)
s: 253, i: 23 (Sqrt(2s): 23)
s: 276, i: 24 (Sqrt(2s): 24)
s: 300, i: 25 (Sqrt(2s): 25)
s: 325, i: 26 (Sqrt(2s): 26)
s: 351, i: 27 (Sqrt(2s): 27)
s: 378, i: 28 (Sqrt(2s): 28)
s: 406, i: 29 (Sqrt(2s): 29)
s: 435, i: 30 (Sqrt(2s): 30)
s: 465, i: 31 (Sqrt(2s): 31)
s: 496, i: 32 (Sqrt(2s): 32)
s: 528, i: 33 (Sqrt(2s): 33)
s: 561, i: 34 (Sqrt(2s): 34)
s: 595, i: 35 (Sqrt(2s): 35)
s: 630, i: 36 (Sqrt(2s): 36)
s: 666, i: 37 (Sqrt(2s): 37)
s: 703, i: 38 (Sqrt(2s): 38)
s: 741, i: 39 (Sqrt(2s): 39)
s: 780, i: 40 (Sqrt(2s): 40)
s: 820, i: 41 (Sqrt(2s): 41)
s: 861, i: 42 (Sqrt(2s): 42)
s: 903, i: 43 (Sqrt(2s): 43)
s: 946, i: 44 (Sqrt(2s): 44)
s: 990, i: 45 (Sqrt(2s): 45)
s: 1035, i: 46 (Sqrt(2s): 46)