我了解到浮点数在内存中使用符号、指数和尾数的形式表示，每个部分都有限定数量的位来表示，因此会出现舍入误差。实际上，假设我有一个浮点数，由于一定数量的位数，它基本上会通过四舍五入策略映射到最近的可表示形式之一。
这是否意味着两个不同的浮点数可以映射到相同的内存表示？如果是，那么我如何通过编程避免这种情况？
我看到了这个std::numeric_limits<T>::max_digits10。
它表示一个浮点数要经过从浮点数到文本再到浮点数的往返操作所需的最小位数。
在我编写的 C++ 程序中，这个往返操作会在哪里发生？据我所知，我有一个存储在内存中（可能带有舍入误差）的浮点数 f1，并被读取回来。我可以直接在 C++ 程序中有另一个浮点变量 f2，然后可以将其与原始浮点 f1 进行比较。现在我的问题是，在这种用例中何时需要使用 std::numeric_limits::max_digits10？是否有任何用例可以说明我需要使用 std::numeric_limits::max_digits10 以确保我不会做错事？
有人能解释一下以上场景吗？
为什么需要使用std::numeric_limits::max_digits10？
为了知道将浮点数类型转换为文本形式所需的最大有效小数位数，以确保对该类型的所有可能值都具有唯一性。
这是否意味着两个不同的浮点数可以映射到相同的内存表示？如果是的话，我如何在程序中避免这种情况？
不会，不同的浮点数对象，其值不同，将具有不同的编码。
是的，不同的浮点代码，它们文本不同，可能映射到相同的内存表示。下面的x1，x2肯定具有相同的编码。32位float只能编码约232个不同的值。许多不同的浮点常量映射到相同的float。
float x1 = 1.000000000000000001f;
float x2 = 1.000000000000000001000000000000000001f;
assert(x1 == x2);
1.23456789
12345.6789
123456789.
123456789f
1.23456789e10
1.23456789e-10
-1.23456789
12345.0000
00012345.6789
max_digits10。但也许这只发生在指数范围的边缘，因此10.184不在可表示数字的集合中。因此需要进一步研究。如果它确实发生了，我认为这是C++标准中的一个缺陷；它很可能不仅仅是为了产生差异，而是要完全确保舍入到最近的工作的往返。 - Eric Postpischilmax_digits10 == 2？（这种情况下，FP类型在尾数中最多有3个二进制数字。） - chux - Reinstate Monicamax_digits10等于16，因为在double格式中还有许多其他需要17位数字才能区分的数字。因此，它不会导致C++对max_digits10的定义具有错误的值。问题是是否存在任何浮点格式和n，使其所有值都转换为不同的n位十进制数字，但某些值不能转换回它们的原始值？） - Eric Postpischiln。 - chux - Reinstate Monica先不考虑精确表示法，假装你有一个两位的浮点数。第0位是1/2，第1位是1/4。假设你想把这个数字转换成一个字符串，使得当该字符串被解析时，它会生成原始数字。
你可能的数字是0、1/4、1/2、3/4。显然，你可以用小数点后两位来表示它们并获得相同的数字，因为在这种情况下表示是精确的。但是，你是否可以只使用一个数字呢？
假设一半总是四舍五入，那么这些数字将映射到0、0.3、0.5、0.8。第一个和第三个数字是精确的，而第二个和第四个数字不是。那么当你尝试重新解析它们时会发生什么？
0.3 - 0.25 < 0.5 - 0.3，且 0.8 - 0.75 < 1 - 0.8。所以，在这两种情况下，四舍五入都管用。这意味着你只需要小数点后一位数字就可以捕捉到我们人为构造的两位浮点数的值。
你可以将位数从两位扩展到53位（对于double），并添加一个指数来改变数字的比例，但是概念是完全相同的。
const float a = 0.1f;
const float b = 0.2f;
const float c = a+b;
printf("%.8f + %.8f = %.8f\n",a,b,c);
这将打印输出
0.10000000 + 0.20000000 = 0.30000001
在这里，数学上正确的结果是0.3，但是0.3无法用二进制表示。相反，你会得到最接近的可以表示的数字。
另一个场景，也就是max_digits10发挥作用的地方，是浮点数的文本表示，例如使用printf或写入文件时。
当你使用%f格式说明符打印数字时，你将得到以十进制打印的数字。
在以十进制方式打印数字时，你可以决定打印出多少位小数。在某些情况下，你可能无法精确地打印出实际数字。
例如，考虑以下内容：
const float x = 10.0000095f;
const float y = 10.0000105f;
printf("x = %f ; y = %f\n", x,y);
这将会打印出来
x = 10.000010 ; y = 10.000010
另一方面，使用%.8f将printf的精度提高到8位小数会给你。
x = 10.00000954 ; y = 10.00001049
如果您想使用fprintf或ofstream将这两个浮点值保存为文本文件，并且使用默认小数位数，则可能会出现保存相同值两次的情况，即使原来的x和y有两个不同的值。
max_digits10是回答“我需要写多少位小数才能避免所有可能的值？”的答案。换句话说，如果您使用max_digits10位数（对于浮点数而言，这恰好是9）编写您的浮点数并将其加载回来，则保证获得与开始时相同的值。
请注意，所写的十进制值可能与浮点数的实际值不同（由于不同的表示）。但是，当您将十进制数的文本读入float时，您将获得相同的值。
查看代码运行结果：https://ideone.com/pRTMZM
假设您有之前提到的两个float：
const float x = 10.0000095f;
const float y = 10.0000105f;
如果你想将它们保存为文本（一个典型的用例是保存到可读性格式，如XML或JSON，甚至使用打印进行调试），那么你需要进行翻译。在我的示例中，我将使用stringstream将其写入字符串。
首先让我们尝试默认精度：
stringstream def_prec;
def_prec << x <<" "<<y;
// What was written ?
cout <<def_prec.str()<<endl;
10。因此，如果我们使用该字符串读取回另外两个浮点数，它们将不会包含原始值：float x2, y2;
def_prec>>x2 >>y2;
// Check
printf("%.8f vs %.8f\n", x, x2);
printf("%.8f vs %.8f\n", y, y2);
同时会打印出以下结果
10 10
10.00000954 vs 10.00000000
10.00001049 vs 10.00000000
这个从浮点数到文本再返回的过程中丢失了很多可能是重要的数字。显然，我们需要以更高的精度将值保存为文本。文档保证使用 max_digits10 不会在这个过程中丢失数据。让我们试试使用 setprecision：
const int digits_max = numeric_limits<float>::max_digits10;
stringstream max_prec;
max_prec << setprecision(digits_max) << x <<" "<<y;
cout <<max_prec.str()<<endl;
现在将会打印出来
10.0000095 10.0000105
float x2, y2;
max_prec>>x2 >>y2;
printf("%.8f vs %.8f\n", x, x2);
printf("%.8f vs %.8f\n", y, y2);
打印哪一个
10.00000954 vs 10.00000954
10.00001049 vs 10.00001049
啊哈！我们找回了我们的数值！
最后，让我们看看如果我们使用比max_digits10少一个数字会发生什么。
stringstream some_prec;
some_prec << setprecision(digits_max-1) << x <<" "<<y;
cout <<some_prec.str()<<endl;
10.00001 10.00001
并且我们读取回来：
10.00000954 vs 10.00000954
10.00001049 vs 10.00000954
因此，在这里，精度足以保持x的值，但不能保留y的值，因为它被向下舍入。这意味着我们需要使用max_digits10，如果想确保不同的浮点数可以进行往返转换并保持不同。
printf 更加简洁明了，因为可以在格式字符串中显式设置精度。在我编辑后的答案中，我也使用了 setprecision。 - Louenfloat时附加一个f，例如float x = 10.0000095; --> float x = 10.0000095f;。 - chux - Reinstate Monicaprintf("%.8f vs %.8f\n", x, x2); 是一个糟糕的例子，因为所需的数字位数与 固定 点无关，而是与 指数 表示法有关。建议使用 printf("%.8e vs %.8e\n", x, x2);。类似的问题也适用于各种 C++ 输出 - 实际上，大多数都适用于这个答案。 - chux - Reinstate Monicafloat f = 10.34529848505433;
float以初始化不是一个往返过程；它是单向的。即使将其转换回十进制并打印，也是从十进制到float再到十进制的往返，这不是问题中所询问的从float到十进制再到float的往返。而那个往返与max_digits10有关；max_digits10是需要保证该中间十进制位数的数字，以确保往返返回到原始的float。 - Eric Postpischilx 和 y 是不同的浮点数值，则使用 max_digits10 个有效数字将它们转换为十进制可以确保它们被区分（转换的结果对于 x 和 y 产生不同的结果），这意味着在转换回来时可以确定原始值。如果它们没有被区分，那就不可能了。因此，这种措辞与往返旅行再现原始值的含义相同，只是用不同的词语表达而已。 - Eric Postpischilmax_digits10来自于C的FLT_DECIMAL_DIG、DBL_DECIMAL_DIG和LDBL_DECIMAL_DIG，这些都是用“round-trip”短语定义的（C 2018 5.2.4.2.2 12）。 - Eric Postpischilmax_digits10，而*bf*是格式，类似于float或double）出现在5.12.2中，其中说：“从受支持的二进制格式bf到外部字符序列的转换以及再次返回会导致原始数字的副本，只要至少指定了Pmin（bf）个有效数字，并且在两次转换期间生效的舍入方向属性是四舍五入方向属性。” - Eric Postpischil
max_digits10有用，那它必须在你想出的情况下有用的局面。这不是发现某物的好方法。也许你会有运气找到一个有效的用例，但更可能不会。通过将这些草率的假设投入你的问题中，你限制了可以得到的响应类型。 - JaMiT