如何从两个点找到一条直线的一般形式方程？

Question

给定输入：

double x1,y1,x2,y2;

我该如何找到一般形式的方程（双系数a、b、c，其中ax + by + c = 0）？

注意：我希望能够通过计算来完成这项任务。因此，与斜率截距式等价的内容可能是：

double dx, dy;
double m, b;

dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
m = dy/dx;
b = y1;

很显然，这很简单，但我一直没有找到通用方程形式的解决方案（因为它可以处理垂直线，所以更有用）。我已经查阅了我的线性代数书和两本计算几何书籍（都过于高级而无法解释这个问题）。

- mimicocotopus

Answer 1

如果你从方程 y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1) 开始（这是由两个点定义的直线的方程），通过一些变换，你可以得到 (y1-y2) * x + (x2-x1) * y + (x1-x2)*y1 + (y2-y1)*x1 = 0，并且你可以认识到：

• a = y1-y2,
• b = x2-x1,
• c = (x1-x2)*y1 + (y2-y1)*x1。

- plesiv

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这种形式的另一个好处是，即使线是垂直的，或者给定的两个点是相同的，计算也不会失败。然而，在计算之后仍然需要验证，以便消耗a、b、c参数的代码不会受到意外的影响。 - rwong

此外，应将 (a, b) 的值进行归一化以避免数值问题。使用 L2 范数是相当典型的，因此 a^2 + b^2=1。 - marcos.nieto

如果您使用单独的系数进行后续计算，请注意，当它是一条竖线时，这可能仍会导致问题，因为它在约简形式中不会产生垂直线。 - TankofVines

你可以将 c 简化为 x1 * y2 - x2 * y1（分配并收集）。 - Jeffrey Scofield

仅作将来参考，这将给出系数的形式为 Ax + By = C，而不是 Ax + By + C = 0。 - Mojo Jojo

Answer 2

通过减去两个点(x2-x1, y2-y1)来得到切线。将其标准化并旋转90度以获得法向量(a,b)。用其中一个点进行点积运算以获得常数c。

- Antimony

Answer 3

如果您从定义由两个点确定的直线的方程式开始

(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)

你最终可能得到下一个方程式。

x(y2 - y1) - y(x2 - x1) - x1*y2 + y1*x2 = 0

因此，系数将是：

• a = y2 - y1
• b = -(x2 - x1) = x1 - x2
• c = y1*x2 - x1*y2

以下是我使用C语言实现该算法的代码：

inline v3 LineEquationFrom2Points(v2 P1, v2 P2) {
    v3 Result;

    Result.A = P2.y - P1.y;
    Result.B = -(P2.x - P1.x);
    Result.C = P1.y * P2.x - P1.x * P2.y;

    return(Result);
}

- Gorevoy Dima

Answer 4

快捷步骤： "问题: (4,5) (3,-7)" 解决：m=-12/1，然后 12x-y= 48 "注意：m 是斜率" 复制分子，附加 "X" 正分数负号在之间。 (提示：相似符号=添加+复制符号) 1.将第二组改为相反的符号， 2.将y1添加到y2（根据符号添加或减去它们）， 3.将x1添加到x2（也是根据符号添加或减去它们）， 4.然后将12和1乘以任一问题集。 之后， "BOOM" Tada！您就有了答案

- Peter Peter

Answer 5

#include <stdio.h>
main()
{
    int a,b,c;
    char x,y;
    a=5;
    b=10;
    c=15;
    x=2;
    y=3;
    printf("the equation of line is %dx+%dy=%d" ,a,b,c);
}

- namrta sharma

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这完全不是用户当时询问的内容（而且他们提出了近5年）。代码并没有计算任何东西；你只是手动硬编码并将其打印到终端。你甚至限制了它只能使用整数和字符（！？）。 - Jake

我已经是一个活跃会员超过2年了，之前从未见过这样的情况 :) - csg