Java中`Double.MIN_NORMAL`和`Double.MIN_VALUE`之间的区别是什么？

Question

什么是 Double.MIN_NORMAL（Java 1.6中引入）和 Double.MIN_VALUE 的区别？

- Cheok Yan Cheng

---

我写了一个IEEE 754次标准教程，可能会引起您的兴趣：https://dev59.com/nWsy5IYBdhLWcg3wvgr7#53203428 - Ciro Santilli OurBigBook.com

Answer 1

答案可以在IEEE浮点表示规范中找到：

对于单精度格式，普通数和次正常数之间的区别在于普通数的有效数字（二进制小数点左边的位）的首位为1，而次正常数的有效数字的首位为0。单精度格式的次正常数在 IEEE 标准 754 中被称为单精度格式的非规格化数。

换句话说，只有在二进制小数点前面有数字1的情况下，Double.MIN_NORMAL才是最小可能表示的数字。而Double.MIN_VALUE基本上是没有这个限制的最小可表示数字。

- aioobe

Answer 2

IEEE-754二进制64位格式：

s_eee_eeee_eeee_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm_mmmm

(1秒; 3×4−1=11秒; 64−3×4=52秒)

，以及它的算法：

• 如果e >000_0000_0000且<111_1111_1111：解释为(-1)^s ×2^{e−balancer:1023} ×(base:1 +m×2^{−sub-one-pusher:52})。（这些是正常数。）

• 如果e =000_0000_0000：做相同的事情（如上面的行），除了base:1是base:0，并且e是e +1。（这些是次正常数，除了零既不是次正常/正常数。）

• 如果e =111_1111_1111且m =0000...0000：解释为(-1)^s ×无穷大。

• 如果e =111_1111_1111且m <>0000...0000：解释为NaN。（顺便说一句：因此有2×(2⁵²−1)不同的位表示形式用于NaN，参见#Quiet NaN和doubleToRawLongBits。）

因此：

• 它的最小正数是0_000_0000_0000_0000_..._0001（Double.MIN_VALUE（也是.NET的Double.Epsilon）（一个次标准数）。

• 其可能的最小正常数为0_000_0000_0001_0000_..._0000（Double.MIN_NORMAL）。

---

附录：

MIN_VALUE计算：

         (-1)^s:0 ×2^{(e:0+1)−balancer:1023} ×(base:0 +m:1 ×2^{−sub-one-pusher:52})

      = 1 ×2⁻¹⁰²² ×2⁻⁵²

      = 2⁻¹⁰⁷⁴ (~4.94 × 10⁻³²⁴)

，以及MIN_NORMAL计算：

         (-1)^s:0 ×2^{e:1 −balancer:1023} ×(base:1 +m:0 ×2^{−sub-one-pusher:52})

      = 1 ×2⁻¹⁰²² ×1

      = 2⁻¹⁰²² (~2.225 × 10⁻³⁰⁸)

= 2的-1022次方（2.225 x 10的-308次方）

- Pacerier

---

我认为你想要的是 2^{1 + 52} - 2，这是NaN位模式的数量。 - Mark Dickinson

还有一个小问题：零不是次正常数，所以“这些是次正常数。”这个说法并不完全准确。那么改成“这些是次正常数和零。”如何？ - Mark Dickinson

好的，当 m == 0 时有两种情况：一种是 s == 0，另一种是 s == 1。换句话说，对于 NaN 的位模式，s 有 2 种可能性，e 只有一种可能性，而 m 有 2^52 - 1 种可能性；相乘得到总共有 2 * (2^52 - 1) = 2^53 - 2 种可能性。 - Mark Dickinson

@MarkDickinson，为什么零不是次正常数？看起来它符合定义：它在二进制点前有一个0，并且指数位都是零。 - aioobe

@aioobe 你看的是哪个定义？IEEE 754的定义部分说：“2.1.51次正常数：在特定格式中，具有小于该格式最小正常数的大小的非零浮点数。[...]”，并且在“正常数”（2.1.38）的定义中也是如此：“在这个标准中，零既不是正常数也不是次正常数。” - Mark Dickinson

Answer 3

为简单起见，本说明仅考虑正数。

两个相邻的标准化浮点数 'x1' 和 'x2'之间的最大间距是2 * epsilon * x1（标准化浮点数不是均匀分布的，它们是对数分布）。这意味着，当一个实数（即“数学”数字）舍入为浮点数时，最大的相对误差是epsilon，这是一个称为机器ε或单位舍入误差的常数，对于双精度，它的值为2^-52（近似值为2.22e-16）。

小于Double.MIN_NORMAL的浮点数称为子规范数，并且它们填充0和Double.MIN_NORMAL之间的间隙。这意味着涉及子规范数的计算可能导致不太准确的结果。使用子规范数允许计算在结果很小时更慢地失去精度。

- Andrei Bozantan