为什么 abs(0x80000000) == 0x80000000？

Question

我刚开始阅读《黑客的乐趣》，它将abs（-2³¹）定义为-2³¹。为什么呢？

我在几个不同的系统上尝试了printf("%x", abs(0x80000000))，结果都是返回0x80000000。

- sigjuice

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阅读《Hacker's Delight》得到+1。 - Paul R

@Paul 谢谢！我才刚刚完成第一章。 - sigjuice

读完书后，请访问以下网站了解更多相关内容：http://hackersdelight.org/ - Paul R

Answer 1

实际上，在C语言中，这种行为是未定义的。根据C99标准的第7.20.6.1/2节：

abs、labs和llabs函数计算整数j的绝对值。如果结果不能被表示，则行为未定义。

其注释如下：

在二进制补码表示法下，最负的数的绝对值不能被表示。

- James McNellis

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非常赞同指出整个事情的未定义性，而不是花费很多篇幅解释某个平台刚好从中获得了什么利益。 - DevSolar

Answer 2

对于32位数据类型，没有表达+2^31的方式，因为最大的数字是2^31-1...请阅读有关二进制补码的更多信息...

- tanascius

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谢谢，我明白了。但是，你的意思是说“没有2^31的表达式”吗？ - sigjuice

32位数据类型的取值范围是-2^31到2^31-1......因此，是的，没有表达式可以表示2^31，否则会导致溢出。 - tanascius

Answer 3

由于整数在内存中以二进制补码形式存储，因此最小值的正版本会溢出并返回负数。

也就是说（在.NET中，但仍然适用）：

int.MaxValue + 1 == int.MinValue  // Due to overflow.

并且

Math.Abs((long)int.MinValue) == (long)int.MaxValue + 1

- John Gietzen

Answer 4

显然，从数学上讲，|−2³¹|的值为2³¹。如果我们有32位来表示整数，我们最多可以表示2³²个数字。如果我们希望表示是关于0对称的，我们需要做出一些决定。

对于以下内容，与您的问题一样，我假设数字的宽度为32位。至少需要使用一个比特模式来表示0。因此，剩下的数字只能用2³²−1个或更少的比特模式来表示。这个数字是奇数，因此我们可以选择一个不完全关于零对称的表示方式，或者使一个数字具有两种不同的表示方法。

• 如果我们使用补码表示法，最高位表示数字的符号，其余位表示数字的大小。在这个方案中，0x80000000表示“负零”（即零），0x00000000表示“正零”或普通零。在此方案中，最大正数是0x7fffffff（2147483647），最小负数是0xffffffff（−2147483647）。这种方案的优点是易于“解码”，并且是对称的。这种方案的缺点是当a和b为不同符号时计算a + b是一个特殊情况，必须特别处理。
• 如果我们使用反码表示法，最高位仍然表示符号。正数的该位为0，其余位组成数字的大小。对于负数，只需从相应正数的表示中反转位（取一个长串1的补数-因此称为反码）。在这种方案中，最大正数仍然是0x7fffffff（2147483647），最小负数是0x80000000（−2147483647）。0有两种表示：正零为0x00000000，负零为0xffffffff。这种方案也存在涉及负数的计算问题。
• 如果我们使用二进制补码方案，负数是通过对反码表示取补码并加1得到的。在这种方案中，只有一个0，即0x00000000。最大正数是0x7fffffff（2147483647），最小负数是0x80000000（−2147483648）。这种表示中存在不对称性。这种方案的优点是无需处理负数的特殊情况。只要结果没有溢出，该表示法就会给出正确的答案。因此，大多数当前的硬件都使用这种表示法来表示整数。

在二进制补码表示中，没有办法表示2³¹。实际上，如果您查看编译器的limits.h或等效文件，您可能会看到对INT_MIN的定义如下：

#define INT_MIN (-2147483647 - 1)

这样做相比于其他方式更加优秀。

#define INT_MIN -2147483648

因为2147483648在32位二进制补码表示中太大了，无法放入一个int类型中。当一元减号运算符“获取”要操作的数字时，为时已晚：溢出已经发生，你无法修复它。

因此，回答你最初的问题，二进制补码表示中最小的负数的绝对值不能用该编码表示。另外，从上面可以看出，在二进制补码表示中从负值到正值的转换，需要先取反再加1。所以，对于0x80000000：

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000   original number
0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111   ones' complement
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000   + 1

你会得到原始数字。

- Alok Singhal

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你发表的评论非常好，@gbarry++（这个评论是否定了某些东西；我不确定）。 - James McNellis

Answer 5

这与数字的存储方式有关。

负数使用二进制补码表示。算法如下...

先将所有位取反，再加1。

以八位数为例...

+0 = -0

00000000 -> 11111111, 11111111 + 1 = 100000000

(但由于比特限制，结果变为00000000)。

还有...

-128 [也称为-(2^7)] 等同于 -(-128)

10000000 -> 01111111, 01111111 + 1 = 10000000

希望这可以帮到你。

- Sparky

Answer 6

两个补码数的表示中最高位是负数。0x80000000 是 1 接着 31 个零，第一个 1 表示 -2^31 而不是 2^31。因此没有办法表示 2^31，因为最高正数是 0x7FFFFFFF，这是 0 接着 31 个 1，等于 2^31-1。

在两个补码中 abs(0x80000000) 是未定义的，因为它太大了，因此计算机只会给出 0x80000000。通常至少是这样。

- Guvante

Answer 7

我认为abs的工作方式是首先检查数字的符号位。如果它是清晰的，那么不做任何操作，因为数字已经是+ve，否则返回数字的2's complement。在你的情况下，数字是-ve，我们需要找到它的2's complement。但是0x80000000的2's complement恰好是0x80000000本身。

- codaddict

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那种检查非常不可能发生。这样的检查是完全无用的 - 结果是相同的 - 同时为每个调用消耗额外的时间。这并不是成本和收益之间很好的权衡。 - Konrad Rudolph

嗯，你的意思是检查数字是否已经是正数了吗？但是如果你对一个正数取2的补码，你会得到负数，而不是绝对值。 - Jay

Answer 8

0x8000.. 存储为 10000....（二进制）。这被称为二补数，意思是最高位（左边的那个）用于存储值的符号，负值使用负二进制 -1 进行存储。abs() 函数现在检查signbit，看到它被设置并计算出正值。

• 为了获取正值，首先对变量中的所有位取反，结果为01111...
• 然后加上1，再次得到1000... 即我们开始的0x8000...

现在这又是一个负数，这不是我们想要的，原因是溢出，试试数字 0x9000...即 10010...

• 对位取反的结果是 01101...
• 加1的结果是01110...
• 这是一个正数 0xE000...

这个数字的溢出已经被右侧的0位停止了。

- josefx

Answer 9

因为它使用负指令来执行此操作。

在《汇编语言艺术》一书中，他们就是这样说的。

如果操作数为零，则其符号不会改变，但这会清除进位标志。对任何其他值进行取反都会设置进位标志。对包含-128的字节、包含-32,768的字或包含-2,147,483,648的双字进行取反不会改变操作数，但会设置溢出标志。Neg 操作总是更新 A、S、P 和 Z 标志，就像您使用 sub 指令一样

来源: http://www.arl.wustl.edu/~lockwood/class/cs306/books/artofasm/Chapter_6/CH06-2.html#HEADING2-313 因此，它将设置溢出标志并保持沉默。这就是原因。

- sandun dhammika