解决AVL树中节点数量的递归关系？

Question

假设我们有这个递归关系式，它在AVL树的分析中出现：

• F₁ = 1
• F₂ = 2
• F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} + 1 (其中n ≥ 3)

如何解决这个递归关系以获得F(n)的闭式形式？这个数字用于获得高度为n的AVL树中内部节点的最小数量。

- Mamrot

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可能是 http://stackoverflow.com/questions/279619 的重复问题。 - phs

@phs- 我认为这不是重复的问题。这个问题询问如何解决表明AVL树高度低的中心递归。而链接的问题则询问在生成斐波那契数列中项的方法。 - templatetypedef

Answer 1

有很多方法可以解决这个递归问题，但大部分都比较复杂。我认为最简单的方法是展开数列的几个项并观察结果：

• F(1) = 1
• F(2) = 2
• F(3) = 4
• F(4) = 7
• F(5) = 12
• F(6) = 20

如果你看一下这个数列，你会发现以下规律：

• F(1) = 1 = 2 - 1
• F(2) = 2 = 3 - 1
• F(3) = 4 = 5 - 1
• F(4) = 7 = 8 - 1
• F(5) = 12 = 13 - 1
• F(6) = 20 = 21 - 1

看起来这些项只是斐波那契数列的项减去1。特别地，注意到 F₃ = 2，F₄ = 3，F₅ = 5 等等。因此，这个模式似乎是这样的：

• F(1) = 2 - 1 = F₃ - 1
• F(2) = 3 - 1 = F₄ - 1
• F(3) = 5 - 1 = F₅ - 1
• F(4) = 8 - 1 = F₆ - 1
• F(5) = 13 - 1 = F₇ - 1
• F(6) = 21 - 1 = F₈ - 1

因此，更一般地，这个模式看起来是 F(n) = F_{n + 2} - 1。我们可以尝试使用数学归纳法来证明：

基本情况：

• F(1) = 1 = 2 - 1 = F₃ - 1
• F(2) = 2 = 3 - 1 = F₄ - 1

归纳步骤：假设 F(n) = F_n+2 - 1 和 F(n + 1) = F_n+3 - 1。那么我们有

• F(n + 2) = F(n) + F(n + 1) + 1 = F_n+2 - 1 + F_n+3 - 1 + 1 = (F_n+2 + F_n+3) - (1 + 1) + 1 = F_n+4 - 1 = F_{(n + 2) + 2} - 1

以上是归纳证明的过程。

那么我是怎么想到用斐波那契数列来寻找这个模式的呢？嗯...递归定义看起来有点像斐波那契数列的定义，所以我猜它们之间可能存在某种联系。发现每个数字都是斐波那契数减一只是创造性的洞察力。你也可以尝试使用生成函数或其他组合技巧来解决这个问题，不过我对此并不是很了解。

希望这能帮到你！

- templatetypedef

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这真的很有帮助，谢谢。我专注于斐波那契数本身的归纳，但没有考虑到它们之间可能存在某种联系。当我复制斐波那契数的解决方案时，我感到很愚蠢。哈哈。 - Mamrot