C#中存储在double中的int型数值"=="运算符精度问题

Question

以下是简化后的代码：

int i = 1;
double a = i;
double b = i;

“a == b 是 true”这个说法是否保证正确？

- levanovd

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为什么不呢？如果有人说不，我肯定想知道为什么！ - Roopesh Shenoy

因为精度问题，在一般情况下，例如 4.0/2.0 != 8.0/4.0。我的问题中没有任何计算，所以问题是是否有助于避免这个问题。 - levanovd

虽然在技术上是正确的，但这个示例选择不好，因为这两个值都可以由IEEE 754双精度浮点类型精确表示。 - codekaizen

@codekaizen，是的，你说得对。我知道这一点。这只是一个非常简化的例子。 - levanovd

(1.0 / 3.0) * 5.0 != 5.0 / 3.0 可能是更好的选择。 - codekaizen

Answer 1

可以。32位整数可以精确地表示为64位浮点数。

- Ian Henry

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有关规范的参考资料吗？ - levanovd

我怀疑C#规范中没有关于这个特定情况的说明，但是如果你查看IEEE 754 Binary64格式的规范，你会发现它使用52位来编码有效数字，这意味着它可以精确地表示高达2^52 - 1的整数...或者可能更多。我不是完全确定。 - Ian Henry

无论如何，即使计算中出现错误并且i是某个“偏离”值，您已将a和b设置为它们，因此它们具有相同的（潜在不正确的）值。这就像问double a = 1; double b = a;，那么a == b吗？双精度误差可能很讨厌，但不会像这样。即使您从long转换为double，并且失去了精度，a和b也都具有相同的“不正确”值--在规范中找到这一点可能是一个更有趣的问题。 - Ian Henry

哇，这变得复杂了。我不认为我原始链接中的引用真的有帮助（抱歉@levanovd）。在实际的C#语言规范中，它更进一步：“其他隐式数字转换永远不会丢失任何信息”。因此，int到double不会丢失任何信息。@Pete，我不知道它与C++相比如何。但是根据原始示例，value是一个32位int，因此它永远不会使用超过52位。 - Nigel Whatling

我得到了一个徽章，提醒我五年前的这个答案，并且我想回复我的评论，“精度误差可能很难处理，但不是像这样。”这并不适用于C#，但这是一篇非常棒的阅读材料：https://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=323#c109 - Ian Henry

Answer 2

“a == b”是否保证为真？

是的。这是因为您执行了相同的转换两次，并且由于其确定性行为，无论舍入问题如何，您最终都将获得相同的值。

我们可以将您的问题概括为：

“我们是否可以在double类型中对32位整数值执行算术运算而不失去精度？”

答案也是肯定的。简单的解释是，如果只有可能，那么在尾数（参见http://en.wikipedia.org/wiki/Significand）的操作是精确的，在32位整数值的情况下，这是可能的。

更长的故事在这里。只要您的整数值适合称为尾数的52位小数部分（请参见http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision），则使用double进行的所有整数值计算都将完全正常。

这是因为您的数字（比如173，即二进制0000010101101b）将被表示为1.010110100000b*2^7，这是准确的。

只要适合于尾数，对尾数的所有操作都是直接的。当特定操作的结果不适合尾数时，会对整数进行舍入——例如，您将40位尾数乘以40位尾数时。当指数差异很大时，浮点运算还会出现舍入。在这种情况下，即使是简单的加法操作也可能失去精度，因为尾数被移位了。

回到双精度编码的整数上——即使是除法操作也是精确的，只要结果是整数值。所以4.0/2.0 == 8.0/4.0也保证是正确的。

当您的数字不是整数时，问题就开始了。但是，在这种情况下，如果它们是形式为x/2^y并且x适合52位（例如3/4 5/8 345/1024），则保证准确地表示数字。如果对这些数字进行操作，也是精确的，前提是y可以对两个操作数都相等，所以即使：

123456789/1024/1024/1024/1024 == 
(23456789/1024/1024/1024/1024 +
100000000/1024/1024/1024/1024)

保证为真。

有趣的事实是，您可以安全地对54位有符号整数执行操作。这是因为在开头有一个附加位，其含义由指数编码，另外还有一位用于表示符号。现在，在54位有符号整数的情况下，-2 ^ 53（如果是MIN_INT）无法适应尾数，但指数将在尾数填满零的情况下完成此工作。

- agsamek

Answer 3

是的，您可以将（32位）整数存储在double（64位浮点数）中，而不会丢失精度。

但是，一旦您对double执行计算，您很可能会引入舍入误差，即精度损失。这些错误可能足够小，以便在将double值强制转换回int时被四舍五入-但是错误确实存在，请注意。

如何完成：有关将整数存储为浮点值的详细信息，请参见Steve Hollasch的此文档（IEEE标准754浮点数）。

简而言之（略有不准确），浮点值由三个部分组成：符号位、“分数”部分（称为尾数）和“指数”部分。它们大致组合如下：

 value = -1 ^{sign bit} × fraction × 2 ^exponent 您可以将整数值存储在double的“分数”部分中（其宽度为52位，足以容纳32位整数）。 “指数”部分可以设置为0，因为不需要。

- stakx - no longer contributing

Answer 4

我打开了 Visual Studio，然后进行了测试。

以下是我的代码：

int i = 5;
double t = i;
double k = i;
MessageBox.Show((i == t).ToString()); //true
MessageBox.Show((k == t).ToString()); //true
i += 5;
t += 5;
k = i;
MessageBox.Show((i == t).ToString()); //true
MessageBox.Show((k == t).ToString()); //true
i += (int)Math.Round(5.6);
t += 5.6;
t = (int)Math.Round(t);
k = i;
MessageBox.Show((i == t).ToString()); //true
MessageBox.Show((k == t).ToString()); //true
i = int.MaxValue - 5438;
t = int.MaxValue - 5438;
k = i;
MessageBox.Show((i == t).ToString()); //true
MessageBox.Show((k == t).ToString()); //true
i = (int)Math.Round(double.MaxValue);
t = Math.Round(double.MaxValue);
k = i;
MessageBox.Show((i == t).ToString()); //false
MessageBox.Show((k == t).ToString()); //false
i = (int)Math.Round(double.MaxValue);
t = i;
k = i;
MessageBox.Show((i == t).ToString()); //true
MessageBox.Show((k == t).ToString()); //true

结果是两个消息框都显示“真”字。

我猜结论就是：是的，你可以保证它是真的。

编辑：我对我的测试进行了扩展。唯一返回 false 的测试是在 double.MaxValue 的测试，但我怀疑您不会使用那么大的数字。

- Jan Sverre

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我下了反对票，因为你的结论对我来说似乎相当危险（尽管你可能是正确的）：仅仅因为你测试了一个简单场景，并不意味着这将总是有效。（你只测试了2^32中的1个案例。你缺少归纳证明来证明你的结论对所有其他整数也是有效的。）--一旦你开始进行浮点数计算，你可能会引入舍入误差。幸运的是，对于整数来说，这些误差非常小，很可能在大多数情况下是微不足道的。 - stakx - no longer contributing

反例：首先，将加法替换为 i /= 2; t /= 2;。其次，在等式测试中显式地进行强制转换：i == (int)t 很可能总是会得到 true，因为微小的浮点舍入误差被舍去了。另一方面，由于上述除以 2，(double)i == t 将得到 false。-- 结论：虽然您可以在 double 中存储整数而不会失去精度，但一旦开始进行计算，就会引入舍入误差！ - stakx - no longer contributing

你读了我的反例吗？它给出了一个情况，你的测试不起作用。你的测试似乎只是因为你依赖于从double到int的隐式转换，对于变量t（和k）。但是：i和t通常不相等！你只能“看到”相等，因为你舍入了小差异！尝试将这些值作为double进行比较，看看会发生什么。 - stakx - no longer contributing

抱歉，在我发布我的编辑之前，我没有看到那个。你是对的。但是提问者的问题是，如果双精度浮点数从相同的整数获取它们的值，它们是否相等，答案是肯定的。如果在设置它们的值后对整数和双精度浮点数进行操作，它们将不再相等，因为双精度浮点数可以存储更复杂的数字。 - Jan Sverre