向量，使用最大速度计算运动力量

Question

我正在创建一个小型的太空射击游戏。然而，我遇到了一个数学问题，涉及到太空物理。

用话来描述就是：

有一个最大速度。 因此，如果你给船以全速，它将像旧版的飞碟游戏一样在屏幕上来回移动。 如果释放火箭助推器，你的船应该保持这个速度继续在屏幕上移动。

接下来是我现在卡住的棘手部分：

如果你把船旋转到任意角度，并再次给予加速力，那么船应该试图朝这个方向移动，并且永远不要超过最大速度。所以我的问题是，有没有一个好的公式可以解决这个问题？如果你知道该找什么，感觉好像已经有人做过了。:)

我会添加这张小图片来说明需要进行一些矢量计算的事情。

红色圆环：最大速度

绿线：当前船的方向。

黑线：方向(s) 和船在x和y方向上移动的速度。

黑色圆环：移动的起点。

可以说明这个问题，但是很难找到一个好的数学解决方案。:)

编辑

这是我现在在每个帧中使用的代码。它给船以运动，但不会给出运动力，用户必须用火箭助推器来对抗并停止或减慢船的速度。因此，当你释放加速船的速度时，它会立即停止。

    //Calculates ship movement rules
var shipVelocityVec = GetVectorPosByAngle(shipMoveSpeed, shipRotationAngle);
var shipUnitVec =$V([Math.cos(shipRotationAngle),Math.sin(shipRotationAngle),0]);
var rawAccel = shipAccelSpeed / shipMass;
var scale = (shipUnitVec.dot(shipVelocityVec))/(shipTopSpeed * shipTopSpeed);
var v1 = shipUnitVec.subtract(shipVelocityVec.multiply(scale));
var finalAccelVec = v1.multiply(rawAccel);
console.log(finalAccelVec);

//move ship according to rules
var shipPosVector = $V([shipxPos, shipyPos, 0]);
var movementVector =  shipPosVector.add(finalAccelVec);
shipxPos = movementVector.elements[0];
shipyPos = movementVector.elements[1];

用户需要按住按钮才能提供加速度。一旦用户松开按钮，加速度就会归零，再次启动时需要重新施加最大加速度油门。 问题解决！ 我在这里发布了如何解决的方法。

- Jonas Lindahl

---

我猜这是一个二维的东西？保持x和y速度指示器分开。如果你正在以一个角度推进，将该角度推力分解为x和y分量，使你能够单独调整飞船的x/y速度分量。在每次速度调整时，检查飞船的速度，并在达到最大值时停止调整。 - Marc B

请纠正我如果我误解了，但是在第三张图片中，速度的合成矢量难道不比红色环允许的更大吗？ - pimvdb

不，因为x和y加在一起等于圆的最大移动距离。绿线可以更长。在#3中，绿线应为圆的直径的全长。 - Jonas Lindahl

分离X和Y的移动并不是一个坏主意！ - Jonas Lindahl

+1 鼓励在提问时附上图表。 - Arend

Answer 1

你似乎有些混淆——如果你正确使用向量，即使加速度角度不同，也没有问题将速度限制在最大速度以下。

你的设置应该看起来像这样：

1. 你的飞船应该有一个位置、一个速度和一个加速度。每个都可以表示为一个二维向量（具有单独的x和y分量）。 2. 每一帧，将速度加到位置上，并将加速度加到速度上。 3. 每一帧，检查speed是否超过某个最大值。如果是，则通过将速度向量进行normalizing并将其乘以最大速度来限制速度。

就是这样！没有特殊情况需要考虑——这就是向量代数的魔力！

- BlueRaja - Danny Pflughoeft

---

将与速度成比例的数量加到位置上，将与加速度成比例的数量加到速度上。 - Michael J. Barber

不完全是这样。除非你的帧在时间上都是均匀分布的，否则你不能将常数吸收到单位中。这是一个微积分问题——涉及到积分，而不是加法。 - Michael J. Barber

我认为我实际上必须采用Michael的概念，因为先前的行动应该会产生一个力量，必须处理这个力量才能得到旅行方向和速度的结果。 - Jonas Lindahl

@Jonas：Michael 正在谈论使用可变步长帧速率而不是固定步长。可变步长更有益，但固定步长更容易实现，因此在较小的游戏中更常见。我建议从固定步长开始，因为它易于使用。这与阻力（如您在对 Michael 的回答中提到的）无关。 - BlueRaja - Danny Pflughoeft

@BlueRaja-DannyPflughoeft，根据您所述的单位，您仍未将速度添加到位置。很明显，OP缺乏背景知识，不知道需要哪些假设才能使其工作；如果您明确表示状态向量的表示可以选择简化时间处理（在假定恒定dt的情况下），那么您的答案将得到很大改善。然后，您的操作描述就不需要依赖于不正确的概念描述。 - Michael J. Barber

Answer 2

@BlueRaja的解决方案应该可以工作，尽管当你达到最大速度时会出现突然的行为变化。

如果你想要一个没有“接缝”的解决方案，我相信你可以通过对加速度进行适当的调整来实现你想要的效果，具体如下：

ship_unit_vec = [cos(ship_angle), sin(ship_angle)]
raw_accel = (engine_thrust / ship_mass)

scale = dot_product(ship_unit_vec, ship_velocity_vec) / max_speed^2

final_accel_vec = raw_accel * (ship_unit_vec - scale * ship_velocity_vec)

注：

• 如果 |ship_velocity_vec|<<max_speed，则 scale * ship_velocity_vec 组件可以忽略不计。
• 如果 |ship_velocity_vec|==max_speed，则 scale * ship_velocity_vec 组件会取消所有“错误”方向上的额外加速度，并有助于“正确”方向上的加速度。
• 我从未尝试过这个方法，所以我不知道玩家会有什么感觉...

---

更一般地，如果有比飞船推进器更多的加速源，您可以将它们全部加在一起（例如，作为raw_accel_vec），然后一次性执行上述操作：

scale_forall = dot_product(raw_accel_vec, ship_velocity_vec) / max_speed^2
final_accel_vec = raw_accel_vec - scale_forall * ship_velocity_vec

- comingstorm

---

很棒的例子！从未想过给船一个质量。只考虑了当时施加在它身上的力，并以此作为修改的基础。明天早上会对我的代码进行一些修改，看看类似这样的方法是否可行。 - Jonas Lindahl

这个回答介绍了一个正如Michael所建议的阻力。然而，我不确定为什么你加了质量 *(它只会通过一个常数倍数影响加速度，因此可以省略)*，并且出于某种原因，您决定将单一的美丽向量方程变成多个更复杂的方程式。 - BlueRaja - Danny Pflughoeft

这里有一个区别：这里的“拖动”与加速度和速度的平方成比例，并且经过适当的缩放，以产生给定的max_speed，而不管施加的“力量”是多少。 - comingstorm

我加入了质量（以及推力大小和方向之间的分离）以尝试使演示更具体地适用于问题 - 但我会采纳您的建议并添加一个更简单和抽象的方程式。 - comingstorm

Answer 3

与其仅仅强制施加一个特定的最大速度，不如使用一些实际的物理学知识并施加阻力。这将是一个额外的力作用于宇宙飞船上，方向相反于速度矢量。对于阻力力的大小，最简单的方法就是将其与速度矢量成比例。

总体效果是，随着宇宙飞船移动得更快，阻力力会增加，使得在船移动得更快时更难沿运动方向加速。当阻力力与运动方向相反时，它也会使加速变得更容易。

其中一个与您描述不同的点是，宇宙飞船不会永远以最大速度继续前进，它会减速。然而，它不会停下来，因为随着飞船减速，阻力力也会下降。这与我对小行星的记忆更匹配，但我已经很久没有玩过了。

- Michael J. Barber

---

是的，正确的。拖力也是我想要模拟的，我只是没有加入下降拖力，以便更容易地尝试解释我一开始所想要的。 - Jonas Lindahl

这个阻力必须能够被船当前的方向力慢慢地修改。对吧？ - Jonas Lindahl

@Jonas：看来你需要恶补一下向量数学。这里没有特别的情况需要考虑——向量可以独立相加，所以你可以每帧将阻力加速度直接加到速度上，然后立即添加由用户输入引起的加速度，而不会出现任何问题。 - BlueRaja - Danny Pflughoeft

@Jonas 拖力不受任何其他力的影响，它是速度的函数。我真的不知道你所说的“船当前的方向力”是什么意思 - 推力，也许？无论如何，这只是基本的牛顿力学：物体的加速度与作用在物体上的所有力的总和成比例。因此，您将所有力相加，得到一个总力矢量，其处理方式与如果它只是来自宇宙飞船的推力的总力矢量相同。 - Michael J. Barber

Answer 4

我做到了！感谢你的帮助。

终于找到了解决方案。问题在于我试图修改船只当前的运动速度，然后根据这个计算出“阻力”力量，这些力量将是用户试图改变方向时产生的运动的产物。解决方案就像@BlueRaja和@Comingstorm提到的那样。所有力量在运动时都应该被加在一起。这应该是改变船只位置的关键。不应该添加到船只当前的运动中。你可能也能够影响当前的运动，但是你必须以不同的方式来做这件事。所以我想分享一下我的解决方案是什么样子的。

每次用户加速船只时都会运行此函数。

function CalcShipMovement() {
//Calculates ship movement rules
shipPosVector = $V([shipxPos, shipyPos, 0]);
var shipVelocityVec = GetVectorPosByAngle(shipAccelSpeed, shipRotationAngle);
var shipUnitVec = $V([Math.cos(shipRotationAngle), Math.sin(shipRotationAngle), 0]);

if(currentShipMoveVector != null && Get2DVectorLength(currentShipMoveVector) > 0) {
    var nextMove = currentShipMoveVector.add(shipVelocityVec);
    var nextSpeed = Get2DVectorLength(nextMove);
    //check if topspeed of movement should be changed
    if(nextSpeed > shipTopSpeed) {
        var scale = nextSpeed / shipTopSpeed;
        currentShipMoveVector = DevideVector(nextSpeed, scale);
    } else {
        currentShipMoveVector = currentShipMoveVector.add(shipVelocityVec);
    }
}
if(currentShipMoveVector != null && Get2DVectorLength(currentShipMoveVector) == 0) {
    currentShipMoveVector = currentShipMoveVector.add(shipVelocityVec);
}}

这段代码在每一帧中运行，用于生成船的图形以改变其位置。

function SetShipMovement() {
if(currentShipMoveVector != null && Get2DVectorLength(currentShipMoveVector) > 0) {
    shipMoveSpeed = Get2DVectorLength(currentShipMoveVector);
    shipPosVector = shipPosVector.add(currentShipMoveVector);
    shipxPos = shipPosVector.elements[0];
    shipyPos = shipPosVector.elements[1];
    //Makes the ship slow down if no acceleration is done for the ship
    if(shipAccelSpeed == 0) {
        currentShipMoveVector = currentShipMoveVector.subtract(DevideVector(currentShipMoveVector, 50));
    }
} else {
    currentShipMoveVector = $V([0, 0, 0]);
}}

- Jonas Lindahl