判断在圆周上运动的两点是靠近还是分离的算法

Question

我正在寻找一个算法，用于确定两个点（p1，p2）在已知速度下绕圆移动时，从它们之间较小的弧的角度来看，它们之间的距离是增加还是减少。

• 我知道p1和p2在度数/弧度上的位置。
• 我知道两个物体的速度（piV，p2V）是在一个均匀的比例尺上的。
• 我知道p1和p2之间短弧的绝对值，以度数/弧度表示（始终为正值）。但是，如果有帮助的话，我也可以知道短弧作为负值或正值，从p1的角度来看，当p2在后面（右侧）时为负，如果p2在前面（左侧），则为正。
• 当它们逆时针移动时，速度为正，当它们“逆行”（顺时针移动）时，速度为负。

- Cliff Ribaudo

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例如，如果从p2到p1的弧小于180且speedP2> speedP1，则它们正在接近。现在为其他组合编写逻辑。http://idownvotedbecau.se/noattempt/ - Andreas

我刚刚修改了Rory的问题。短弧总是被称为正值或绝对值。 - Cliff Ribaudo

@andreas，我已经尝试用C语言解决了很多次，但那些算法过于复杂，有太多的边角情况无法在这里展示，而且也不是很相关。我希望有人能指点我一种更加优雅的解决方案，需要具备更好的三角函数/几何学知识。 - Cliff Ribaudo

如果你正在寻找“三角函数/几何学方面的能力”，你应该在https://math.stackexchange.com/上提问。 - Andreas

你知道P1是在P2前面还是后面，而且你知道哪一个正在移动得更快。因此有四种情况需要考虑，或者你可以使用异或来完成。问题在哪里？ - Beta

Answer 1

这个问题的真正挑战在于处理180度处的极坐标奇点，因此我将跳过这一点，改用向量数学，虽然效率略低但更容易理解。希望其他更擅长模运算的人能解决这个问题。

将角位置转换为笛卡尔坐标： (X, Y) = R * (cos θ, sin θ) 假设物体具有笛卡尔坐标P1，P2。引入2D叉积： A ^ B = Ax By - Ay Bx 如果A相对于B顺时针旋转，则结果为正，反之亦然。

假设物体具有角速度W1，W2，其中正号表示按照极坐标惯例逆时针旋转。

当物体2相对于物体1顺时针旋转（如图所示：P1 ^ P2 < 0）时：

• 如果W1，W2 > 0且W2 > W1
• 或者，如果W1，W2 < 0且-W1 > -W2
• 或者，如果W1 < 0且W2 > 0

...则物体朝向彼此移动；相反的情况也是如此，交换物体标签。将此编译为单个条件： sign(W1 - W2) == sign(P1 ^ P2) != 0 顺便说一下，使用三角恒等式可以得到P1 ^ P2 = R^2 sin(θ2 - θ1)，因此仅检查sin(θ2 - θ1)的符号即可。

编辑：事实证明，将条件简化为单个正弦项可以使模运算更加清晰，通过考虑正弦函数的行为- sign(P1 ^ P2) = sign(180 - [θ2 - θ1] % 360)

- meowgoesthedog

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抱歉，我真的看不出来你写的东西如何使用。在你的答案结尾处，你似乎建议这个方程式是解决方案：sign(P1 ^ P2) = sign(180 - [θ2 - θ1] % 360)，但我不知道该怎么使用它。 - Cliff Ribaudo

@CliffRibaudo 这只是说明这两个表达式是等价的（至少我认为是这样），你可以使用第二个表达式，因为它更有效率。要检查的实际条件是 sign(W1 - W2) == sign(P1 ^ P2) != 0 - 替换第二项即可。 - meowgoesthedog

其实...还是有点困惑。1）^，XOR是什么意思？（我在用C语言编程）2）你写的SIGN是真的指SIGN还是应该是SIN？3）假设你确实是指SIGN而不是SIN，那么SIGN(p1 ^ p2)是什么意思？p1和p2始终是0到360之间的两个正数，所以不清楚它如何解决问题。 - Cliff Ribaudo

@CliffRibaudo 1）^ 是上面定义的二维叉积，而不是异或。2）是的，sign 和 sin 是不同的函数。3）sign(P1 ^ P2) 是笛卡尔坐标（而非极角）的叉积的符号。我已经在我的答案中定义了从角度到笛卡尔坐标的转换。 - meowgoesthedog

Answer 2

感谢@beta的评论，它引导我朝着正确的方向前进。我错过了p1相对于p2的方向（正或负），这已经是已知的事实。因此，没有必要将值转换为其他坐标系。

答案非常简单：

SIGN((p2V - p1V) * Angle) = (+ if separating, - when closing or approaching)

我将其简化为以下的C代码：

return ((p2V - p1V) * angle) > 0 ? 1 : -1;

如果使用的是有符号的夹角，当p2相对于p1逆时针（左侧）时为正，而当p2相对于p1顺时针（右侧）时为负，则此方法效果良好。

- Cliff Ribaudo

Answer 3

将参考系移动到p1。现在你有一个静态点p1和以速度p2V - p1V从位置p2-p1开始移动的p2。现在的问题是：什么时候p2会撞到原点？

不幸的是，这里有三种情况，取决于p2V - p1V的符号：

1. 速度为零，点永远不会相撞。
2. 速度为正，意味着p2将绕圆圈走并击中360度。
3. 速度为负，意味着p2将直接走向原点并击中0度。

唯一需要注意的是正确计算p2 - p1的初始位置。我建议假设初始位置在0到359之间，然后相应地调整p2 - p1（如果为负，则加上360）。基本上，计算所有内容“模360”。

- yeputons