如何在MATLAB中生成一个二维随机向量？

Question

我有一个非负函数f定义在单位正方形S = [0,1] x [0,1]上，如下所示： 我的问题是，如何使用MATLAB根据概率密度函数f生成来自S的二维随机向量？

- mononono

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我认为，除非你的密度是可分离的（因此你的两个组件是独立的随机变量），否则这是一个非常困难的问题。你知道如何在纸上解决这个问题吗？如果你知道纸上的算法，那么你就能编写代码了。 - Andras Deak -- Слава Україні

@AndrasDeak，很不幸我不知道如何在纸上完成这个任务。我只想根据某些概率分布生成一个随机向量，而我所能做的就是使用Matlab中预定义的pdf函数。 - mononono

我会采用拒绝采样的方法。另请参考此答案，虽然语言不同，但可以作为指南。 - Luis Mendo

你会如何离散化它？考虑到这是MATLAB中的2D矩阵，必须以某种方式进行离散化。因此，一个简单的解决方案是生成一个带有randn的2D矩阵，并对其进行归一化（假设您也知道所有元素的总和）。由于所有元素都被常数归一化，随机性将得到保留。我是否漏掉了什么，因为这将满足积分，对吗？ - akamath

@akamath，你忽略了OP需要一个特定的分布:) "我有一个非负函数f"，他们只是没有告诉我们它是什么。而且他们这样做是正确的：如果它不由独立的函数组成，那么这并不真正有什么区别。 - Andras Deak -- Слава Україні

@LuisMendo的建议听起来很不错。选择一个均匀随机点，然后看看另一个均匀随机点是否命中（重新）归一化的概率密度（就像你会做“p概率”的事情一样）。如果符合条件，则保留该点，否则将其丢弃。 - Andras Deak -- Слава Україні

Answer 1

拒绝采样

路易斯·门多提出的建议非常好，因为它适用于几乎所有分布函数。根据this answer的建议，我编写了m的代码。

使用这种方式进行拒绝采样的一个重要点是，您必须知道范围内概率密度函数的最大值。如果您高估了最大值，您的代码将只会运行得更慢。如果您低估了它，它将产生错误的数字！

这个想法是，您可以采样许多均匀分布的点，并根据点的概率密度接受或拒绝。

pdf=@(x).5.*x(:,1)+3./2.*x(:,2);
maximum=2; %Right maximum for THIS EXAMPLE. 
%If you are unable to determine the maximum of your 
%function within the [0,1]x[0,1] range, please give an example.
result=[];
n=10;
while (size(result,1)<n)
    %1. sample random point:
    val=rand(1,2);
    %2. Accept with probability pdf(val)/maximum
    if rand<pdf(val)/maximum
        %append to solution
        result(end+1,:)=val;
    end
end

我知道这个解决方案不是一个快速的实现，但我想从一个尽可能简单的实现开始，以确保拒绝抽样的概念变得清晰。

- Daniel

Answer 2

ICDF

除了拒绝采样外，还有一种不同的方法可以更数学化地解决这个问题，但您需要先进行一些数学计算，以得到更好的解决方案。对于一维分布，通常使用ICDF（反累积密度函数）函数来进行采样，只需使用ICDF（rand（n，1））即可获得随机样本。

如果您能够进行数学计算，则可以在matlab中为您的PDF函数定义两个函数ICDF1（第一维的ICDF）和ICDF2（第二维的ICDF）。

第一个ICDF1将均匀分布的随机样本映射到您的随机分布的第一维的样本值。

第二个ICDF2将ICDF1的输出和均匀分布的样本映射到您的预期解决方案。

以下是一些matlab代码，假设您已经定义了ICDF1和ICDF2

samples=ICDF1(rand(n,1));
samples(:,2)=ICDF2(samples,rand(n,1));

这种解决方案的巨大优势在于，它不会拒绝任何样本，潜在速度更快。

- Daniel