IEEE 754：它是如何运作的？

Question

以下代码在C语言中为什么会出现这样的行为？

float x = 2147483647; //2^31
printf("%f\n", x); //Outputs 2147483648

以下是我的思考过程：

2147483647 =   0      1001 1101      1111 1111 1111 1111 1111 111

   (0.11111111111111111111111)base2 = (1-(0.5)^23)base10
=> (1.11111111111111111111111)base2 = (1 + 1-(0.5)^23)base10 = (1.99999988)base10

因此，要将IEEE 754的表示法转换回十进制：1.99999988 * 2^30 = 2147483520 技术上讲，C程序必须输出2147483520，对吗？

- Ram

Answer 1

要表示的值将是2147483647。可以用这种方式表示的下两个值分别是2147483520和2147483648。

由于后者更接近无法表示的“理想值1”，因此它被使用：在浮点数中，值会被四舍五入，而不是截断。

- glglgl

Answer 2

2147483647 = 2^31 - 1 = +1 * 2^30 * 1.1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11

当使用IEEE 754-1985单精度格式对该数字进行编码时，尾数会被正确地四舍五入。对于四舍五入模式最近偶数舍入（默认的舍入模式），这意味着它会被向上舍入。

舍入之前：

exponent = 30, significand = 1.1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11

在将尾数舍入到小数点后23位之后：

exponent = 30, significand = 10.0000 0000 0000 0000 0000 000

标准化后：

exponent = 31, significand = 1.0

以单精度格式编码：

1 | 10011110 | 00000000000000000000000

- Roland Illig

Answer 3

标准在此处可用。您可能需要购买它，因为IEEE（以及其他类似组织）主要通过销售标准来赚钱，以抵消他们在组装、游说接受和提高标准质量方面的成本。

位只意味着某人指定它们的含义

“当我使用一个词时，”亨普蒂·韦尔德（Humpty Dumpty）用相当轻蔑的语气说，“它的意思就是我选择的意思——既不多也不少。” “问题是，”爱丽丝说，“你能不能让单词有这么多不同的意思。” “问题是，”亨普蒂·韦尔德说，“谁将是主人——这就是全部。”（《镜中奇遇记》第6章）

在这种情况下，IEEE已经决定了位的含义，printf标志％f打印出正确对应的人类表示的原因也是由于该标志遵循相同的标准。

有时候你可以将二进制位转换成其他的数据类型（比如整型）并打印出这些二进制位的“另一种”表示。C语言会捕捉到许多普通数字提升，但是你可以通过在正确的地址上分配错误类型的指针（并对它们进行解引用），来混淆它。

请注意，当你手动计算时，实际的硬件不能保证按照你所想象的精确进行计算。使用整数Math表示更准确，但浮点数Math中，舍入的方式对输出结果有很大影响。更不用说有时候系统中还会出现浮点数误差问题（幸好不太常见）。

- Edwin Buck

Answer 4

浮点数格式通常处于“规范化形式”，其中尾数的最高有效位始终为1。由于它始终为1，因此您不需要使用一个位来存储它。因此，在解码这种数字表示时，您需要在顶部添加回1。

- luser droog